El núcleo de un morfismo de co-anillos es un co-ideal

Question

Me gustaría demostrar que

El núcleo de un morfismo de coring $\phi:C\rightarrow C'$ entre dos $R$ -corings $(C,\Delta,\epsilon)$ y $(C',\Delta',\epsilon')$ es un coideal.

El único punto que no puedo demostrar es que $$\Delta(\text{Ker}(\phi))\subset \text{Ker}(\pi\otimes\pi)$$

Esto debería ser sencillo, pero no puedo mostrarlo.

EDITAR:

$\pi$ es la proyección natural de $C$ a $C/\text{Ker}(\phi)$

Las definiciones que utilizo son

Un morfismo de coring a partir de un $R$ -puntuación $(C,\Delta,\epsilon)$ a otro $R$ -puntuación $(C',\Delta',\epsilon')$ es un $R$ -morfismo bimodular $\phi$ tal que $\epsilon'\circ\phi = \epsilon$ y $(\phi\otimes\phi)\circ\Delta = \Delta'\circ\phi$ .

Un coideario $I$ de la $R$ -puntuación $C$ es un $R$ -subbimódulo de $C$ tal que $I\subset \text{Ker}(\epsilon)$ a $$\begin{align*} \Delta(I) \subset \text{Ker}(\pi\otimes\pi) \end{align*}$$ donde $\pi:C\rightarrow C/I$ es el mapa de proyección canónica.

Answer 1

La declaración:

El núcleo de un morfismo de coring $\phi:C\rightarrow C'$ entre dos $R$ -coring's $(C,\Delta,\epsilon)$ y $(C',\Delta',\epsilon')$ es un coideal.

no es cierto en general:

• Es cierto si se tiene en cuenta la especial caso de las coalgebras sobre un campo $k$ (una prueba de ello puede encontrarse en Álgebras de Hopf: una introducción (Dascalescu et al, p. 25-26, proposición 1.4.9),
• Sin embargo, en el caso general de que tengamos un $A$ -puntuación $C$ en lugar de una coalgebra sobre un campo $k$ (ahora la estructura lineal de $C$ es la de un $A$ -bimódulo ${}_AC_A$ donde $A$ es un álgebra arbitraria -es decir: no conmutativa en general-) la afirmación no es válida tal cual: En este caso, el coideal es por definición el núcleo de un suryectivo $A$ -(y no de cualquier morfismo de $A$ -morfismo de puntuación). Para este último caso, véase la prueba y otros detalles en: Corings y Comódulos Brzezinski et al, propuesta 17.14, p. 177-178.
  La misma situación se da en el caso de coalgebras sobre un anillo conmutativo $R$ (para una demostración del caso en que los "escalares" son elementos de un anillo conmutativo $R$ ver: Corings y Comódulos (Brzezinski et al., proposición 2.4, p. 9-10)