Símbolo de Levi-Civita y contravarianza frente a covarianza

Question

Tengo una pregunta sobre el símbolo de Levi-Civita y la contravarianza frente a la covarianza. Algo de esto se preguntó en un entrada anterior pero creo que necesito más aclaraciones.

Consideremos el campo magnético: \begin{equation} B^k = \tilde{\varepsilon}^{ijk}\partial_i A_j \end{equation}

Pn 1: En la fórmula lo escribí como el símbolo de Levi-Civita $ \tilde{\varepsilon}$ ¿es correcto o debería ser el tensor de Levi-Civita $\varepsilon$ ¿en su lugar? ¿O no tiene sentido ya que la fórmula $\vec{B} = \nabla \times \vec{A} $ ¿es cierto sólo en coordenadas cartesianas y por tanto no podemos utilizar un tensor? (espero que tenga sentido)

Pn 2: Escribí $B^k$ con un índice superior para indicar que es un vector contravariante - lo que significa que bajo transformaciones de coordenadas $\tilde{\varepsilon}$ también se transforma. Excepto que estoy confundido en cuanto a cómo se transforma? Carroll (en su libro spacetime & geometry) dice que el símbolo de Levi-Civita está definido para no cambiar bajo transformaciones de coordenadas (por lo que sus entradas permanecen +1 -1 0), y sin embargo deriva una ley de transformación $\tilde{\varepsilon}_{i'j'k'\cdots} = |g| \tilde{\varepsilon}_{ijk} \frac{\partial x^i}{\partial x^{i'}} \frac{\partial x^j}{\partial x^{j'}} \frac{\partial x^k}{\partial x^{k'}} \cdots$ . Entonces, ¿cuál es?

Pn 3: Sin embargo en algunos libros escriben \begin{align} B_k = \epsilon_{ijk}\partial_i A_j. \end{align} En este caso parece que están ignorando la naturaleza tensorial del objeto y simplemente tratando $\tilde{\varepsilon}$ como un simple símbolo que da los valores +1, -1 o 0 en la suma. Esto ocurre también, por ejemplo, al escribir las relaciones de conmutación de los operadores de espín: \begin{align} [J_i, J_j] = i \tilde{\varepsilon}_{ijk}J_k, \end{align} donde estoy bastante seguro de que en este caso el símbolo se considera simplemente un número. (aunque $J_i$ son vectores del álgebra de Lie...). Entonces, ¿estoy atribuyendo demasiado significado al símbolo de Levi-Civita?

Qn 4: En el curso de mi trabajo que estoy haciendo tengo que lidiar con el operador de momento angular, que escribí como \begin{align} L^k = \tilde{\varepsilon}^{ijk}g_{ia}r^ap_j. \end{align} En coordenadas cartesianas se reproduce $L^x, L^y, L^z$ ya que, por ejemplo $L^z = x p_y - y p_x$ . Pero, ¿es correcta esta fórmula? El cambio a coordenadas esféricas no parece dar $L^z = \frac{\partial}{\partial \phi}$ y así sucesivamente...

Pn 5: Sólo una pregunta general sobre el símbolo Levi-Civita. ¿Tiene sentido subir/bajar índices en el símbolo Levi-Civita? Sé que se puede hacer para el tensor porque el operador estrella de Hodge lo utiliza.

Answer 1

Este hilo en physicsforums explica un poco la diferencia entre los símbolos de Levi-Civita y los tensores. Basándome en eso, concluyo...

1) Su fórmula de notación de índice para el campo magnético debe utilizar la Levi-Civita tensor entonces. El "símbolo" es algo conveniente, pero esta expresión debe escribirse con tensores.

2) Carroll probablemente se equivocó y quiso hablar de las propiedades de transformación del tensor de Levi-Civita.

3) Cualquier expresión en la que el mismo índice aparezca dos veces en la parte inferior (o dos veces en la parte superior) es pura pereza por parte del autor. Sin embargo, es una pereza común, especialmente en contextos en los que no se discrimina entre componentes covariantes y contravariantes.

En realidad, no estoy seguro de cuál es su pregunta aquí.

4) De nuevo, diría que esta expresión debería utilizar el tensor, no el símbolo.

5) No veo ninguna razón para que no lo hagas.

Sólo algunas observaciones generales sobre el tensor/símbolo de Levi-Civita y lo que representan: un espacio plano tiene una única "forma de volumen" o "pseudoescalar". Hay un elemento de volumen unitario del que todos los demás volúmenes son múltiplos escalares. Este volumen tiene una orientación (piénsese en un volumen abarcado por vectores según la regla de la mano derecha frente a la regla de la mano izquierda).

El tensor y el símbolo de Levi-Civita están relacionados con esta noción. El tensor representa las componentes del elemento de volumen unitario con respecto a los elementos de volumen construidos por combinaciones de vectores base.

El elemento de volumen puede utilizarse para realizar operaciones de dualidad. Éste es el fundamento del operador estrella de Hodge. Utilizando el $N$ -tensor de Levi-Civita en un objeto tensor con $k$ índices libres produce un nuevo objeto con $N-k$ índices libres. Esto también puede describirse geométricamente. En 3d, los escalares pasarían a volúmenes, los vectores a planos, los planos a vectores y los volúmenes a escalares bajo esta operación de dualidad. Es el mapeo explícito de planos a vectores que se realiza tan a menudo con la dualidad - que nos permite hacer trampa en 3d por tratar sólo con escalares y vectores. Los planos y los volúmenes se pueden volver a convertir en vectores y escalares mediante la dualidad. Esto es exactamente lo que se hace con el campo magnético y el momento angular . Deberías ver claramente que ambos vectores, si no fuera por el uso del tensor de Levi-Civita, serían expresiones con 2 índices libres, y antisimétricas en esos índices. Estos objetos se llaman bivectores .

El tensor y el símbolo de Levi-Civita se utilizan a menudo en física y matemáticas para tratar expresiones a través de la dualidad en lugar de hacerlo directamente, incluso cuando, en mi opinión, esto oscurece la física real del problema o encubre una deficiencia de la notación. El otro día tuvimos por aquí una pregunta sobre la construcción de 4 volúmenes a partir de un solo plano. Geométricamente, esto es obvio: no se puede construir un volumen de 4 a partir de un solo plano. Pero en la notación de índices, era engorroso en el mejor de los casos, lo que implica encontrar el plano dual mediante el uso del tensor de Levi-Civita y tomando trazas.

En general, el tensor de Levi-Civita y sus muchos índices pueden ser difíciles de trabajar, especialmente en sistemas de coordenadas arbitrarios. Una vez oí a un profesor lamentarse de que todas las identidades que otro profesor había enseñado a los alumnos con Levi-Civita sólo habían utilizado el símbolo --es decir, el tensor en coordenadas cartesianas-- y, por tanto, no eran válidos en sistemas de coordenadas arbitrarios. La solución sugerida fue enseñar a los estudiantes sobre densidades tensoriales, lo que fue recibido con escepticismo en el mejor de los casos, ya que sólo había tres profesores en todo el departamento que, en opinión del otro profesor, se preocupaban por las densidades tensoriales o incluso las conocían. Creo que parte de esta opinión es la razón por la que el símbolo de Levi-Civita se utiliza a menudo en su lugar; es simplemente más fácil para demostrar algunas cosas en coordenadas cartesianas, aunque la expresión resultante no sea realmente correcta (no es realmente un tensor porque se ha ignorado el determinante métrico, etc.).