integral de línea de 1 con respecto a omega

Question

Tengo problemas para entender la solución de una integral de línea. Sigue la integral:

$$ \oint{d \Omega}= \int_0^{2\pi}{dl} \int_0^\pi \sin \theta ~ d\theta = 4\pi$$

Puedo entender fácilmente cómo las 2 integrales multiplicadas entre sí equivalen a $ 4 \pi$ pero no puedo entender por qué la integral de línea es igual a las otras 2 integrales multiplicadas.

Por algún contexto esto surgió en una clase de astrofísica, pero ese es todo el contexto que tengo, el profesor dio esto para evaluar donde estamos en matemáticas, y estoy tratando de entender esto pero no puedo.

Gracias, señor.

Answer 1

No se trata de una integral de trayectoria, sino de una integral de superficie. El círculo en la integral indica que se trata de una superficie cerrada, no de una trayectoria cerrada. La notación $d\Omega$ se refiere al elemento de área de la esfera unitaria, o equivalentemente a un elemento de ángulo sólido, por lo que esta integral da el área de la superficie de la esfera unitaria, que es $4\pi.$

La descomposición en dos integrales procede de la habitual coordenadas esféricas en la esfera, donde $\theta$ es el ángulo polar y $l$ (notación elegida por impar) es el ángulo acimutal.