en espacios vectoriales graduales bidimensionales

Question

He leído la siguiente declaración:

Consideremos un espacio vectorial graduado $V$ con base $\{a, b\}$ tal que $a \in V^2$ y $b \in V^5$ .

¿Significa esto que $V=\bigoplus_{i\geq 0}V^i$ de forma que $V^i$ son $0$ excepto $V^2$ y $V^5$ por lo que podemos escribir simplemente $V=V^2\oplus V^5$ y si es así ¿por qué no decimos directamente que $V$ es un espacio vectorial bidimensional que puede escribirse como la suma directa de dos espacios vectoriales $V=A\oplus B$ donde $A$ es un espacio vectorial unidimensional de base $\{a\}$ y $B$ es un espacio vectorial unidimensional con base $\{b\}$ .

Answer 1

Podemos escribir $V = V^2\oplus V^5$ pero escribir como en la segunda parte de tu pregunta no respeta la graduación. Si escribimos $V$ es bidimensional, o $V = A \oplus B$ donde $A$ y $B$ son unidimensionales hemos perdido información sobre la graduación y los elementos homogéneos de $V$ (es decir, los múltiplos de $a$ y $b$ ).

Answer 2

Los espacios vectoriales graduados deben conservar su información de graduación. Puede ser que $V=V^1\oplus V^2$ es isomorfo como espacio vectorial a $V'=V'^1\oplus V'^3$ pero no son isomorfos ya que clasificado espacios vectoriales porque un isomorfismo tendría que respetar los grados de los elementos en la gradación. Si dijéramos simplemente $V$ es bidimensional e isomorfa a la suma directa de $A$ y $B$ como usted menciona, entonces ha perdido la estructura graduada.