Informática $\int_0^{\ln2}\sqrt{4e^{2x}+\frac12+\frac{1}{64}e^{-2x}}dx$

Question

Necesito resolver $$\int_0^{\ln2}\sqrt{4e^{2x}+\frac12+\frac{1}{64}e^{-2x}}dx$$ Esto parece un problema en el que puedo dejar $u=e^{2x}, u^{-1}=e^{-2x}$ y tratar la función dentro de la raíz como una cuadrática. Fui capaz de hacer esto, sin embargo, no fui capaz de factorizarlo de tal manera que pudiera obtener un producto de dos binomios.

Intenté la sustitución en u pero acabó siendo un lío que requería integración por partes.

¿Puede alguien ayudar a mostrar la solución más sencilla paso a paso?

Answer 1

Acabo de seguir a través de su sustitución

$$\int_1^4\sqrt{4u^2 + \frac{u}{2} + \frac{1}{64}}du$$

$$\int_1^4\sqrt{4(u^2 + \frac{u}{8} + \frac{1}{256}})du$$

$$\int_1^42\sqrt{(u^2 + 2.\frac{1}{16}.u + (\frac{1}{16})^2}du$$

$$\int_1^42|u+\frac{1}{16}|du$$

Answer 2

Observe los coeficientes $4$ y $\frac{1}{64}$ no coinciden. Así que factor una constante a cabo:

$$ \sqrt{4e^{2x}+\frac{1}{2}+\frac{1}{64}e^{-2x}} = \frac{1}{2}\sqrt{16e^{2x}+2+\frac{1}{16}e^{-2x}} $$

Ahora el radicando es un cuadrado perfecto...