Sea $X$ sea un espacio analítico complejo. Existe una secuencia exacta, la secuencia exacta exponencial que tiene una importancia fundamental para analizar esta cuestión (y otras relacionadas):
$$ 0 \to 2 \pi i \mathbb Z \to \mathcal O_X \buildrel \exp \over \longrightarrow \mathcal O^{\times}_X \to 1 .$$
Supongamos ahora que $X$ es adecuada y está conectada. Cuando pasamos a la cohomología, la secuencia de $H^0$ s es entonces exacta corta, pero obtenemos la siguiente secuencia exacta larga crucial: $$H^1(X, 2 \pi i \mathbb Z) \to H^1(X,\mathcal O_X) \to Pic(X) \to H^2(X,2 \pi i \mathbb Z) \to H^2(X,\mathcal O_X).$$ Aquí estoy escribiendo (como de costumbre) $Pic(X)$ para indicar $H^1(X,\mathcal O_X^{\times})$ el grupo de clases de isomorfismo de haces lineales analíticos sobre $X$ . Si $X$ es algebraico, entonces por GAGA este es el mismo que el grupo de haces de líneas algebraicos sobre $X$ .
El mapa de límites $Pic(X) \to H^2(X,2 \pi i \mathbb Z)$ es el mapa de clase de Chern (con un $2\pi i$ giro, o Giro de Tate esto es natural en el contexto algebraico, y para obtener la clase de Chern topológica basta con dividir por $2 \pi i$ ).
Así vemos que el núcleo del mapa de clases de Chern puede identificarse con $H^1(X,\mathcal O_X)/H^1(X,2 \pi i\mathbb Z)$ y desaparece cuando $H^1(X,\mathcal O_X) = 0$ .
La imagen de $Pic(X)$ bajo el mapa de clases de Chern se denomina grupo Neron--Severi; su núcleo se denota $Pic^0(X)$ o $Pic^{\tau}(X)$ . Cuando $X$ es algebraico, $Pic(X)$ es naturalmente un grupo algebraico, $Pic^0(X)$ es la componente conexa de la identidad, y $H^1(X,\mathcal O_X)$ es el espacio tangente a la identidad.
Si $X$ es una curva proyectiva suave, entonces $Pic^0(X)$ suele denominarse Jacobiano de $X$ . Puedes consultar la sección de Hartshorne en el capítulo IV para hacerte una idea, aunque puede que al leerla no te des cuenta de lo fundamental que es el papel del jacobiano en la teoría de curvas algebraicas. Si buscas en Google el teorema de Torrelli, el teorema de Abel-Jacobi y el divisor theta (por poner algunos ejemplos de términos de búsqueda) te harás una idea. Griffiths y Harris también tienen una discusión detallada, que da una mejor idea de su importancia.
Si $X$ es algebraico pero no propio, entonces se puede compacificar añadiendo un divisor en el infinito. Permítanme escribir $\overline{X}$ para la compacificación, y permítanme suponer que $\overline{X}$ es de hecho suave, por lo que entonces el divisor $D := \overline{X}\setminus X$ es un divisor de Cartier, y da lugar a un haz de líneas asociado $\mathcal O(D) \in Pic(\overline{X}).$ (Esto se denomina $\mathcal L(D)$ en Hartshorne, creo, y en algunos otros textos, especialmente los más antiguos, pero $\mathcal O(D)$ es la notación más común hoy en día, y también es mejor notación). Si $D$ es reducible (como puede ocurrir; en general puede tomarse como un divisor de cruces normal, pero no mejor --- por ejemplo, para compactar una curva a una curva proyectiva suave, tenemos que añadir un número finito de puntos, pero un punto no será suficiente, típicamente), escríbalo como $D_1 \cup \cdots \cup D_n$ .
Entonces también tenemos haces de líneas asociados $\mathcal O(D_i)$ para cada $i$ cuyo producto es $\mathcal O(D)$ y observe que cada una de ellas es trivial cuando se restringe a $X$ (porque $X = \overline{X} \setminus D$ ). Ahora se ve que $Pic(X) = Pic(\overline{X})/\langle \mathcal O(D_1),\ldots,\mathcal O(D_n) \rangle,$ por lo que si $Pic^0(\overline{X})$ no es trivial, entonces $Pic(X)$ también tendrá una parte no discreta (porque no podemos matar un grupo algebraico conexo mediante el cociente de un subgrupo finitamente generado).
Así que la respuesta a su pregunta es, al menos para suave $X$ , es: compactar $X$ a $\overline{X}$ y, a continuación, calcular $H^1(\overline{X}, \mathcal O)$ ; si esto no es trivial, entonces el mapa de clases de Chern tiene un núcleo (¡enorme!).
[Añadido más tarde: Como ejemplo, si $X$ es una hipersuperficie en $\mathbb P^n$ para $n > 2$ (así $X$ tiene dimensión $> 1$ ), entonces $H^1(X,\mathcal O_X) = 0$ (¡ejercicio!), por lo que las hipersuperficies ofrecen ejemplos interesantes.
Para una superficie, la dimensión $H^1(X,\mathcal O_X)$ se conocía clásicamente (es decir, por los italianos) como la irregularidad de la superficie $X$ . (La razón es que conocían fórmulas, como Riemann--Roch, para superficies en el espacio, que cuando intentaban extenderlas a superficies más generales se volvían falsas a menos que la cantidad extra $\dim H^1(X,\mathcal O_X)$ aunque, por supuesto, no lo describieron así). Véase mi comentario aquí así como las notas de Kleiman enlazadas por Jason Starr, que le dirán mucho sobre las variedades de Picard y mucho más].
