Los teoremas extensionales se utilizan sobre todo de forma intensionada

Question

Algunos teoremas se enuncian y demuestran extensionalmente, pero en la práctica casi siempre se utilizan intensionally . Voy a poner un ejemplo para que quede claro: la integración por partes: $$ \int_a^b f(x)g'(x)ds = \left[f(x)g(x)\right]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x) dx$$ para dos funciones continuamente diferenciables $f$ y $g$ . En la práctica, esto rara vez se aplica a funciones sino a expresiones que denotan funciones. Y lo que es mucho más importante, casi siempre se aplica mediante la "concordancia de patrones" en un producto plazo . Pero tenga en cuenta que la integración suele describirse formalmente como una operación sobre funciones (es decir, objetos extensionales), pero luego en el primer curso de cálculo se enseña a los alumnos a dominar una serie de reglas de reescritura (es decir, operaciones sobre objetos intensionales).

Los lógicos [Leibniz, Frege, Russell, Wittgenstein, Quine, Carnap, por citar algunos] se han preocupado mucho por ello. Los lingüistas [me viene a la mente Montague] y los físicos [A. Bressan] también se han preocupado por ello.

Tengo dos preguntas:

1. ¿Qué otros ejemplos ha encontrado de esta mezcla de extensión e intención?
2. ¿Por qué no se enseña/aprecia más esta dicotomía?

En el caso del álgebra (más concretamente, de las teorías ecuacionales), la respuesta al punto 2 es muy sencilla: porque esta dicotomía no importa en absoluto, ya que tenemos adjunciones bien avenidas entre las teorías extensionales e intensionales [de hecho, a menudo tenemos isomorfismos]. Por ejemplo, no hay ninguna diferencia esencial entre los polinomios (sobre campos de característica 0) tratados sintáctica o semánticamente. Pero hay una enorme diferencia entre los términos del análisis y los teoremas semánticos correspondientes.

Answer 1

Después de leer algunas de las respuestas, no creo que exista tal diferencia.

Permítanme que me explique. Tome el comentario de Edgar: no decimos $1$ converge, pero decimos $\sum_{n=1}^\infty 2^{-n}$ converge. Estrictamente hablando, $1$ no converge, no podemos hablar de la convergencia de un número. Se convierte en una afirmación con sentido cuando entendemos $1$ como una secuencia constante. Podría decirse que $\sum_{n=1}^\infty 2^{-n}$ tampoco está definida correctamente, pero hemos aceptado que una suma infinita como límite.

Creo que aquí ocurre el mismo problema. Al fin y al cabo, las matemáticas tratan de objetos formales. En cuanto se empiezan a omitir algunos detalles (probablemente por simplicidad), por ejemplo, no especificar si un polinomio debe considerarse como un elemento de un anillo o como una función, pueden producirse errores. No estoy de acuerdo con Tao en este tema: no hay interpretaciones semánticas o funcionales de un objeto (o al menos, no hay interpretaciones únicas de este tipo). Un polinomio no puede interpretarse como una función. Se define como un elemento de $K[x]$ . Si queremos hablar de una función polinómica, entonces debemos enunciar el dominio, el codominio y construir la transformación de la variable al polinomio interpretado por sustitución de la variable. Pero entonces ya no estamos hablando de un polinomio.

Aplicado al ejemplo de Carette, se puede pensar que antes de aplicar el teorema como regla de reescritura, primero tenemos que definir la función que identificamos por la expresión, sustituir la expresión por la función y luego aplicar el teorema a la función. Y eso es lo que estamos haciendo (o deberíamos hacer), pero por simplicidad omitimos estos pasos. Sería lo mismo que si instanciáramos $aa^{-1}=1$ como $00^{-1}=1$ . No podemos olvidar los requisitos para la aplicación de la norma.

Answer 2

No estoy seguro de entender la pregunta, pero ¿no es esto siempre ¿Ocurrir? Por ejemplo, si voy a enunciar y demostrar la regla del producto, voy a escribir:

Proposición. $(fg)' = f'g+fg'$

Y eso es lo que demostraré. Sin embargo, en la práctica probablemente utilizaré

$$\frac{\partial}{\partial x}(\tau \sigma) = \left(\frac{\partial}{\partial x}\tau\right)\sigma+\tau \left(\frac{\partial}{\partial x}\sigma\right)$$

donde $\tau$ y $\sigma$ son términos del tipo $\mathbb{R}$ y $\frac{\partial}{\partial x}$ debe entenderse como la metafunción del metatipo $\mathrm{Terms} \rightarrow \mathrm{Terms}$ dada por $\tau \mapsto (\lambda x.\tau)'(x)$ .

Así que supongo que lo que estoy diciendo es que cualquier Cada vez que aparecen funciones de orden superior, cabe esperar que los teoremas se enuncien y demuestren "extensionalmente", pero luego se utilicen "intensionalmente". En mi opinión, un buen fundamento debería llevar incorporado un soporte para este tipo de cosas, ya que están muy extendidas.

Para responder a la pregunta (2), "¿por qué no se enseña/aprecia más esta dicotomía?", creo que se debe a que palabras como "expresión formal" y "metafunción" no se enseñan/aprecian mucho fuera de los círculos lógicos. A medida que se generalicen las matemáticas formalizadas por ordenador, esto seguramente cambiará. Por cierto, si alguien escribiera un libro de texto llamado "matemáticas explícitas" basado en la premisa de que deberíamos hacer explícitos todos estos pequeños matices, sin duda lo compraría.)