¿Qué aspecto podría tener la función de correlación de pares (normalizada) de los números primos?

Question

Envío cruzado desde Math.Stackexchange .

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Es posible que haya leído sobre el encuentro fortuito entre Montgomery y Dyson . El trasfondo es que los ceros no triviales de la función zeta de Riemann, cuando se normalizan para tener un espaciado unitario en promedio, (parecen) tener la función de correlación de pares $1-\mathrm{sinc}^2(x)$ donde $\mathrm{sinc}$ es la función normalizada $\sin(\pi x)/ (\pi x)$ . Sigue siendo una conjetura pero tiene buenas soporte numérico .

¿Y los números primos? Sea $\Sigma(x,u)$ sea el número de pares de primos $p,q\le x$ que satisfacen la desigualdad $0\le p-q\le \frac{x}{\pi(x)}u$ donde $\pi(x)$ es la función de recuento de primos. Se elige esta desigualdad porque multiplicar primos por $\frac{\pi(x)}{x}$ garantizará que el espacio entre consecutivas sea exactamente la unidad (de ahí que estén normalizadas). Entonces, ¿qué podría

$$g(u)=\frac{d}{du}\left(\lim_{x\to\infty}\frac{\Sigma(x,u)}{\pi(x)}\right)$$

¿acabará pareciendo? Esto básicamente pregunta, "¿cuál es la densidad de primos normalizados alrededor de tal y tal aparte de cada uno?" (Puedes ver la conjetura original de Montgomery como ecuación 12 aquí . Lo he adaptado a los números primos cambiando esencialmente el número asintótico de ceros de zeta por la función de recuento de primos. Puede que esté siendo presuntuoso al suponer que la sustitución ingenua seguirá proporcionando una respuesta significativa).

Answer 1

Estás preguntando por la función de correlación de dos puntos de un proceso de Poisson con densidad unitaria, que es simplemente la unidad: $g(u)=1$ .

el apoyo para esto es tan fuerte como para los ceros de Riemann: hay una amplia evidencia numérica, pero no un teorema concluyente; véase el artículo de Soundarajan de 2006 citado anteriormente, o artículos más recientes en arXiv:0708.2567 y arXiv:1102.3648

la diferencia esencial entre la función $g_R(u)=1-sinc^2(u)$ para los ceros de Riemann y $g(u)=1$ para los números primos, es que el primero desaparece $\propto u^2$ para pequeños $u$ ("repulsión de nivel"), mientras que la segunda permanece constante. Ésta es la diferencia entre el (supuesto) conjunto unitario gaussiano de ceros de Riemann y el conjunto de Poisson de números primos. Para grandes $u$ todas las correlaciones decaen y $g_R(u)\rightarrow g(u)$ .