Sup puntual de funciones continuas mediante compacidad

Question

Consideremos dos espacios topológicos $X$ , $Y$ . Supongamos que $X$ es compacto.

Pregunta: ¿Es cierto que para cualquier función continua $f:X\times Y\rightarrow Z$ (donde $X\times Y$ tiene la topología del producto y $[0,1]$ tiene la topología habitual), la función $g:Y\rightarrow Z$ definido como:

$g(y)= \displaystyle \bigsqcup_{x} f(x,y) $

¿es continua?

¿Podría ayudarme con algunas sugerencias sobre cómo intentar probar este resultado?

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Pregunta 2: Además, ¿es cierto que si $g(y)=a$ entonces existe alguna $x\in X$ tal que $f(x,y)=a$ . Es decir, ¿puede $\bigsqcup_x$ sustituirse por $\max_x$ : $g(y)= \displaystyle \max_{x} f(x,y) $ ?

Answer 1

Tenga en cuenta en primer lugar que $g^{-1}((a,b)) = \{y\in Y|\exists x\colon f(x,y)>a\}\cap\{y\in Y| \forall x\colon f(x,y)<b\}$ . Ahora $\{y\in Y|\exists x\colon f(x,y)>a\} = \pi_2(f^{-1}((a,1]))$ que está abierto ya que $(a,1]$ está abierto, $f$ es continua y $\pi_2$ es un mapa abierto, ya que es la proyección de un producto. Además, $\{y\in Y| \forall x\colon f(x,y)<b\} = \{y\in Y| \exists x\colon f(x,y)\geq b\}^c = \pi_2(f^{-1}([b,1]))^c$ que está abierto ya que $\pi_2$ es un mapa cerrado ya que es una proyección de un producto con un espacio compacto.

Para responder a su segunda pregunta, tenga en cuenta que $f_y\colon X\to [0,1]\colon x\mapsto f(x,y)$ es un mapa continuo. Como tal, asigna conjuntos compactos a conjuntos compactos y, por tanto $f_y(X)\subseteq[0,1]$ es compacto. Por lo tanto $g(y) = \sup f_y(X)\in f_y(X)$ .