¿Definiciones candidatas para "1-trenzado 2-categoría"?

Question

Recordemos que a categoría monoidal trenzada es una categoría $\mathcal C$ un functor $\otimes: \mathcal C \times \mathcal C \to \mathcal C$ que satisface algunas propiedades, y un isomorfismo natural $b_{V,W}: V\otimes W \to W\otimes V$ que satisfacen algunas propiedades. Recordemos también que a categoría monoidal (sólo $\mathcal C,\otimes$ y sus propiedades) es lo mismo que una categoría de 2 elementos: los objetos de $\mathcal C$ se convierten en los morfismos, y la estructura monoidal se convierte en composición.

Por lo tanto, ¿existe una definición natural de "1-categoría trenzada de 2"? La llamo "1-trenzada" porque el trenzado actúa sobre los 1-morfismos (a diferencia de la "2-categoría monoidal trenzada", donde el trenzado actúa sobre los 0-morfismos).

Me doy cuenta, por supuesto, que si $V,W$ son morfismos de una categoría 2 de modo que $V\circ W$ se define, entonces generalmente $W\circ V$ no está definida, por lo que a priori pedir cualquier relación $V\circ W \cong W\circ V$ no tiene sentido. Por otra parte, considere La categorización de Aaron Lauda de $U\_q(\mathfrak{sl}\_2)$ . Es una 2-categoría, pero se pueden identificar más o menos diferentes hom-sets.

Answer 1

En la tabla periódica de Baez-Dolan, una categoría monoidal trenzada no es más que una categoría 2-monoidal (es decir, una categoría 3 con un objeto y un 1-morfismo). Si sólo piensas que un trenzado significa que la estructura es intrínsecamente tridimensional, entonces quizá sólo quieras pensar en una categoría 2-monoidal (es decir, una categoría 3 con un objeto).

Answer 2

Quizá le interese este documento . Aunque la noción de "bicategoría con sombra" no es exactamente lo que describes, creo que al menos podría estar relacionada. Es, al menos, una estructura sobre una bicategoría que generaliza la noción de simetría sobre una categoría monoidal. (Es no generalizar los trenzados que no son simetrías).

Answer 3

Como has mencionado, el conmutador no suele tener sentido si tu 2-categoría tiene morfismos entre objetos distintos. Por lo tanto, he aquí un primer intento de definición: una colección de categorías monoidales trenzadas.

Hay otra perspectiva: se puede plegar el conmutador en la estructura de una 3-categoría con un objeto y un 1-morfismo en lugar de describirlo como un dato extra. He aquí una definición candidata más refinada: una 3-categoría con un objeto.