Sea $\eta: M \mapsto B(\mathcal{K})$ es un operador fuerte continuo en cero, estamos poniendo vN álgebra $M$ con topología de operador fuerte y $B(\mathcal{K})$ Topología de operador débil, cómo decir $\eta$ es continua en $(M)_2$ la bola de radio 2??
Respuesta
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No estoy seguro de si esto es lo que pregunta: si $x_j\to x$ entonces $x_j-x\to0$ (y a la inversa). Por tanto, si $\eta $ es continua en cero y lineal, $$ \lim_j\eta(x_j)=\lim_j \eta(x_j-x)+\eta(x)=\eta(x). $$ Que la continuidad en cero implica continuidad en todas partes es válido para cualquier topología lineal y cualquier función lineal (con el argumento anterior).
