cómo hallar la derivada de una función g(x)

Question

Es $g(x)={{x^{2}-1}\over{x^{2}+2}}$ y tengo que calcular $g^{13}(0)$ .

No puedo calcular todas las derivadas así que creo que usar series de potencias.

$g(x)={{x^2\over{x^{2}+2}}-{1\over{x^2+2}}}$

¿Puedo utilizar la serie geométrica?

Answer 1

Primero realiza un sencillo truco aritmético $$g(x) = \frac{x^2-1}{x^2+2}=1-\frac{3}{x^2+2}$$ entonces, puesto que $g'(x) = \frac{6x}{(2 + x^2)^2}$ es una función impar, entonces las derivadas de orden impar debe ser funciones impar para que sean como $$x \cdot p(x)$$ para una determinada función polinómica tal que $\deg[p(x)]$ es par. Entonces concluye y encuentra $g^{13}(0) = 0$ desde $0$ es una raíz de la derivada polinómica-racional de grado impar.

Answer 2

En principio sí, pero sería más fácil si se realizara una división polinómica $$ \frac{x^2-1}{x^2+2}=1-\frac{3}{x^2+2}. $$ ¿Tal vez pueda adivinar por la simetría de la función cuáles son las derivadas Impares más probables?

Answer 3

$$g(x)={{x^{2}-1}\over{x^{2}+2}}=\frac{(x^2+2)-2-1}{x^2+2}=1-\frac{3}{x^2+2}$$

$$=1-\frac{3}{2}(\frac{1}{1+(\frac{x}{\sqrt{2}})^2})$$ en función de la serie geométrica $$=1-\frac{3}{2}(1-(\frac{x}{\sqrt{2}})^2+(\frac{x}{\sqrt{2}})^4-(\frac{x}{\sqrt{2}})^6+.........$$ por lo que cada derivado de impar en $x=0$ será $0$ porque todos los términos restantes contendrán $x$ con potencia uno o más