¿Cuántos minutos dura Train $1$ para todo el viaje?

Question

Dos trenes parten simultáneamente el uno hacia el otro en un trayecto de la línea de metro de Washington. Tren $1$ parte del punto A en un extremo y el tren $2$ parte del Punto B en el otro extremo. En el instante en que los trenes se cruzan, tarda el tren $1$ otro $16$ minutos para llegar al punto B y el tren tarda $2$ otro $9$ minutos para llegar al punto A. ¿Cuántos minutos tarda el tren $1$ para todo el viaje?

Que la velocidad del tren $1$ sea $s_1$ y que la velocidad del tren $2$ sea $s_2$ . Entonces tenemos $$s_1t+16s_1 = s_2t+9s_2,$$ que da $t(s_1-s_2) = 9s_2-16s_1$ y así $t = \dfrac{9s_2-16s_1}{s_1-s_2}$ . Así, $t+16 = -\dfrac{5s_2}{s_1-s_2}$ .

No parece posible obtener la respuesta desde aquí, pero la respuesta es $28$ . ¿Qué he hecho mal?

Answer 1

Así que deja que la velocidad del tren $1$ sea $s_1$ y entrenar $2$ sea $s_2$ . Llamemos a la distancia entre $A$ y $B$ como $x$ . Sea la distancia entre su punto de encuentro común $C$ y $A$ sea $y$ de modo que $BC$ es entonces $x-y$ .

Entonces,

1) Está claro que el tren $2$ toma $7$ minutos menos que el tren $1$ . Así que una ecuación sería $\frac{x}{s_1} = \frac{x}{s_2} + 7$ .

2) El tiempo que tarda el tren $2$ viajar $x-y$ es el mismo que el tiempo que tarda el tren $1$ viajar $y$ . Entonces $\frac{y}{s_1} = \frac{x-y}{s_2}$ o que $ys_2=(x-y)s_1$ o que $y(s_2+s_1) = x$ .

3) Tren $2$ recorre la distancia $y$ en nueve minutos, así que $\frac{y}{s_2} = 9$ .

4) Tren $1$ recorre la distancia $x-y$ en dieciséis minutos, así que $\frac{x-y}{s_1} = 16$ .

Del tercer punto, $y = 9s_2$ y de la cuarta, $x-y = 16s_1$ de modo que $x=16s_1+9s_2$ .

Además, del segundo punto, $9s_2(s_2+s_1) = x$ .

En $x=16s_1+9s_2$ lo insertamos en la primera ecuación para ver que $16+\frac{9s_2}{s_1} = 9+\frac{16s_1}{s_2} + 7$ de modo que $16s_1^2 = 9s_2^2$ . Por lo tanto, $\frac{s_1}{s_2} = \frac 34$ .

Ahora, sustituye por $s_2$ en $x = 16s_1 + 9s_2$ . Sabemos que $3s_2 = 4s_1$ para que $9s_2 = 12s_1$ . Por lo tanto, $x = 16s_1 + 12s_1 = 28s_1$ . Por lo tanto, $\frac{x}{s_1} = 28$ .

Esto significa que el tren $1$ recorre toda la distancia en $28$ minutos. Tren $2$ lo haría en $21$ minutos.