Relación entre el operador de Hecke y el álgebra de Hecke

Question

En el estudio de la teoría de números (y en otras ramas de las matemáticas) la presencia del Álgebra de Hecke y del Operador de Hecke es muy destacada.

Una de las muchas formas de definir el Operador de Hecke $T(p)$ es en términos del operador doble coset correspondiente a la matriz $ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & p \end{bmatrix}$ .

Por otro lado, el álgebra de Hecke $\mathcal{H}(G,K)$ asociado a un grupo $G$ de tipo td ( grupo topológico, tal que cada vecindad de la unidad contiene un subgrupo abierto compacto), donde $K$ es un subgrupo abierto compacto de $G$ se define como el espacio de localmente constantes compactamente soportadas $K$ funciones bi-invariantes en $G$ . El producto de convolución la convierte en un álgebra asociativa.

Me dijeron que el álgebra hecke $\mathcal{H}(Gl(2,\mathbb{Q}_p) , Gl(2,\mathbb(Z)_p))$ corresponde al álgebra clásica de los operadores de Hecke unidos a $p$ mediante el Teorema del Isomorfismo de Satake. Usando el teorema del isomorfismo de Satake puedo demostrar $\mathcal{H}(Gl(2,\mathbb{Q}_p) ,Gl(2,\mathbb(Z)_p))$ es conmutativo y finitamente generado sobre $\mathbb{C}$ .

Así que mi pregunta es ¿cómo se utiliza el Teorema del Isomorfismo de Satake (o de otro tipo) para ver esto? Y en segundo lugar, en general, ¿cuál es la relación entre los operadores de Hecke y el álgebra de Hecke?

Answer 1

El hecho de que los operadores de Hecke (cosas del doble coset procedentes de $SL_2(\mathbf{Z})$ que actúan sobre formas modulares) y álgebras de Hecke (funciones localmente constantes sobre $GL_2(\mathbf{Q}_p)$ ) están relacionadas no tiene realmente nada que ver con el isomorfismo de Satake. La observación crucial es que en lugar de pensar en las formas modulares como funciones en el semiplano superior, se puede pensar en ellas como funciones en $GL_2(\mathbf{R})$ que se transforman de cierta manera bajo un subgrupo de $GL_2(\mathbf{Z})$ y entonces como funciones en $GL_2(\mathbf{A})$ ( $\mathbf{A}$ los adeles) que quedan invariantes bajo $GL_2(\mathbf{Q})$ y invariante a la derecha bajo algún subgrupo abierto compacto de $GL_2(\widehat{\mathbf{Z}})$ .

Ahora sólo hay un poco de yoga álgebra general que dice que si $H$ es un subgrupo de $G$ y $f$ es una función sobre $G/H$ y $g\in G$ de forma que $HgH$ es una unión finita de cosets $g_iH$ entonces se puede definir un operador de Hecke $T=[HgH]$ que actúan sobre las funciones en $G/H$ por $Tf(g)=\sum_i f(gg_i)$ el lema es que esto sigue siendo $H$ -invariante.

A continuación se hace la tediosa pero totalmente elemental comprobación de que si se consideran las formas modulares no como funciones sobre el semiplano superior sino como funciones sobre $GL_2(\mathbf{A})$ entonces los operadores clásicos de Hecke tienen interpretaciones como operadores $T=[HgH]$ como arriba, con $T_p$ correspondiente a la función admitida en $p$ y con $g=(p,0;0,1)$ . Dado que la acción "ocurre localmente", también se puede calcular el espacio del doble coset localmente, es decir, si $H=H^pH_p$ con $H_p$ un subgrupo abierto compacto de $GL_2(\mathbf{Q}_p)$ entonces puedes hacer todas tus descomposiciones de cosets y acciones localmente en $p$ .

Ahora por fin tienes tu enlace, porque se te ocurre $T$ como la función característica del espacio del doble coset $HgH$ que es precisamente el tipo de operador de Hecke en su álgebra de Hecke de funciones localmente constantes. Además la suma $f(gg_i)$ es sólo una forma explícita de escribir la convolución, por lo que todo es coherente.

No conozco ningún libro que explique cómo pasar del punto de vista clásico al adelico de una forma agradable y de bajo nivel, pero estoy seguro de que ya habrá alguno por ahí. Oh ¿quizás Bump?

Answer 2

En cuanto a tu segunda pregunta, la relación entre los operadores de Hecke y las álgebras se trató en los hallazgos de esta semana de Báez. Por ejemplo, en el artículo de David Ben-Zvi comentario en la semana 254.

Answer 3

Lo siento, la primera edición de esta respuesta era vergonzosamente incoherente. Veremos si este intento es mejor.

Cualquier coset doble KgK (para G y K dados) tiene un único representante en forma de divisor elemental $\binom{a0}{0d}$ donde a y d son potencias (posiblemente negativas) de p y a/d es un entero p-ádico (es decir, una potencia positiva de p). El operador de Hecke $T(p^n)$ viene dada por una suma sobre convoluciones con KgK ya que g abarca matrices divisoras elementales con entradas enteras p-ádicas con determinante $p^n$ . En particular, T(p) viene dado por la convolución con el doble coset correspondiente a $\binom{p0}{01}$ . En la notación de la respuesta de Buzzard, los operadores $T(p^n)$ generan la subálgebra del álgebra de Hecke generada por $S = \binom{p0}{0p}$ y $T = \binom{p0}{01}$ y coincide con la subálgebra generada por aquellos cosets dobles cuyo representante divisor elemental tiene entradas enteras p-ádicas.

Puede encontrar un tratamiento no adélico en términos de operadores de Hecke que actúan sobre formas modulares en el semiplano superior en la sección 1.4 de la obra de Bump Formas y representaciones automórficas donde introduce a los operadores $T_\alpha$ para matrices diagonales $\alpha$ en forma de divisor elemental, y muestra cómo $T(n)$ viene dada como una suma sobre cosets dobles con determinante n. Descomponiendo estos cosets dobles en cosets izquierdos para $\Gamma(1)$ se obtiene el conjunto habitual de representantes $\{ a,b,d| ad=n, 0 \leq b < d \}$ sobre el que se suma al evaluar un operador de Hecke.

El isomorfismo de Satake da un isomorfismo con el anillo de representación de $GL_2(\mathbb{C})$ que es conmutativa y finitamente generada. Esto implica que el álgebra de Hecke aquí es conmutativa y finitamente generada, pero esto se puede ver sin invocar tal maquinaria. En el caso de $GL_2$ el isomorfismo puede hacerse muy explícito. $T(p)$ corresponde a la representación estándar de 2 dimensiones, las matrices escalares dan potencias de determinante, y $T(p^n)$ corresponde al $n$ ª potencia simétrica.