El descubrimiento (o invención) de los negativos, que tuvo lugar hace varios siglos por parte de chinos, indios y árabes, ha tenido, por supuesto, una importancia fundamental para las matemáticas. Desde entonces, parece que los matemáticos siempre se han esforzado por "poner los negativos" en cualquier estructura algebraica que se les ocurriera, por analogía con la estructura "numérica" habitual, $\mathbb{Z}$ .
Pero quizá haya casos en los que la noción de semiring parezca más natural que la de anillo (¡voy a ser muy muy chapucero!):
1) Los Cardenales. Tienen una estructura natural de semiring, y la construcción habitual que permite pasar de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{Z}$ no puede realizarse en este caso sin una gran pérdida de información.
2) Haces vectoriales sobre un espacio; y obsérvese que en el caso de rango infinito el Grothendieck anillo es trivial sólo porque se permiten los negativos.
3) Geometría tropical.
4) La noción de semiring, en oposición a la de anillo, parece ser la más natural para la "categorización", en dos sentidos distintos: (i) Por ejemplo, el conjunto de clases de isomorfismo de objetos en una categoría con sumas directas y productos tensoriales (por ejemplo, módulos proyectivos finitamente generados sobre un anillo conmutativo) es naturalmente un semiring. Cuando se construye el anillo de Grothendieck de una categoría, se suelen añadir negativos formales, pero esta operación puede tener muchas pérdidas, como en el caso de los haces vectoriales. (ii) Una categoría con biproductos finitos (productos y coproductos, y un isomorfismo natural entre ellos) se enriquece automáticamente sobre monoides conmutativos, pero no se enriquece automáticamente sobre grupos abelianos. Como tal, es naturalmente un "sembrado de muchos objetos", pero no un "anillo de muchos objetos".
¿Tiene algún ejemplo de contextos en los que los semirings (que no son anillos) surjan de forma natural en matemáticas?