¿Son realmente los anillos objetos más fundamentales que los semianillos?

Question

El descubrimiento (o invención) de los negativos, que tuvo lugar hace varios siglos por parte de chinos, indios y árabes, ha tenido, por supuesto, una importancia fundamental para las matemáticas. Desde entonces, parece que los matemáticos siempre se han esforzado por "poner los negativos" en cualquier estructura algebraica que se les ocurriera, por analogía con la estructura "numérica" habitual, $\mathbb{Z}$ .

Pero quizá haya casos en los que la noción de semiring parezca más natural que la de anillo (¡voy a ser muy muy chapucero!):

1) Los Cardenales. Tienen una estructura natural de semiring, y la construcción habitual que permite pasar de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{Z}$ no puede realizarse en este caso sin una gran pérdida de información.

2) Haces vectoriales sobre un espacio; y obsérvese que en el caso de rango infinito el Grothendieck anillo es trivial sólo porque se permiten los negativos.

3) Geometría tropical.

4) La noción de semiring, en oposición a la de anillo, parece ser la más natural para la "categorización", en dos sentidos distintos: (i) Por ejemplo, el conjunto de clases de isomorfismo de objetos en una categoría con sumas directas y productos tensoriales (por ejemplo, módulos proyectivos finitamente generados sobre un anillo conmutativo) es naturalmente un semiring. Cuando se construye el anillo de Grothendieck de una categoría, se suelen añadir negativos formales, pero esta operación puede tener muchas pérdidas, como en el caso de los haces vectoriales. (ii) Una categoría con biproductos finitos (productos y coproductos, y un isomorfismo natural entre ellos) se enriquece automáticamente sobre monoides conmutativos, pero no se enriquece automáticamente sobre grupos abelianos. Como tal, es naturalmente un "sembrado de muchos objetos", pero no un "anillo de muchos objetos".

¿Tiene algún ejemplo de contextos en los que los semirings (que no son anillos) surjan de forma natural en matemáticas?

Answer 1

Los semirings son omnipresentes en toda la informática: toda noción de recurso que carezca de una noción correspondiente de deuda da lugar a una estructura semiring de manera estándar.

1. En primer lugar, se formaliza el recurso como un monoide conmutativo (parcial). Es decir, se tiene un conjunto que representa recursos (por ejemplo, límites de tiempo o uso de memoria de un programa informático), y la estructura monoidal tiene la unidad que representa "ningún recurso", y la concatenación que representa "combinar estos dos recursos".

2. Entonces, se puede generar un quantale a partir de este monoide tomando el conjunto de potencias del monoide. Esto forma un quantale, donde la ordenación es inclusión de conjuntos, meet y join son intersección y unión de conjuntos, con estructura monoidal $A \otimes B = \{ a \cdot b \;|\; a \in A \land b \in B \}$ y $I = \{e\}$ (Para los monoides parciales, podemos limitarnos a considerar los pares definidos.) Esta cuantale puede interpretarse como "proposiciones sobre los recursos".

3. Tenga en cuenta que $(I, \otimes, \bot, \vee)$ forma un semiring. Como curiosidad, este hecho es muy útil para razonar sobre programas.

Algunas observaciones más:

1. Si tienes una noción de "deuda" que corresponde a tu noción de recurso, entonces puedes empezar con una estructura de grupo en el paso 1, y repetir la construcción para obtener un anillo.

2. El ejemplo de Mariano también encaja en este marco, si se relaja la restricción de conmutatividad. Entonces se pueden ver las palabras como elementos de un monoide libre sobre un alfabeto, y entonces se obtienen lenguajes que forman un quantale no conmutativo.

3. El álgebra tropical es un marco excelente para modelizar problemas de optimización (es decir, minimizar una función de coste). A menudo se pueden derivar algoritmos simplemente cambiando las conexiones de Galois entre el semirrecuendo tropical y un semirrecuendo de datos. Cuando funciona, el proceso es tan transparente que parece magia.

Answer 2

Por supuesto, la verdadera pregunta es si los grupos abelianos son realmente objetos más fundamentales que los monoides conmutativos. En cierto sentido, la respuesta es obviamente no: la definición de monoide conmutativo es más simple y admite descripciones alternativas como la que yo doy aquí . Esta última descripción puede adaptarse a otros entornos, como a la categoría 2 de categorías localmente presentables, que comparte muchas propiedades formales con la categoría de monoides conmutativos (como ser monoidal simétrica cerrada, tener un objeto cero, tener biproductos). Como tal, afirmaría que cualquier categoría monoidal simétrica cerrada localmente presentable es en sí misma una versión categorizada de un semiring, no en el sentido que describes, sino en que es un objeto del álgebra en una categoría monoidal simétrica cerrada, por lo que podemos hablar de módulos sobre ella, etc.

Sin embargo, es innegable que existe una gran diferencia cualitativa entre las teorías de los grupos abelianos y los monoides conmutativos. Obsérvese que un grupo abeliano no es más que un monoide conmutativo que es un módulo sobre $\mathbb{Z}$ (más precisamente un monoide conmutativo tiene una estructura única de $\mathbb{Z}$ -si tiene inversos aditivos y ninguna estructura de $\mathbb{Z}$ -en caso contrario). La situación es análoga a la diferencia (menor) entre grupos abelianos y $\mathbb{Q}$ -espacios vectoriales. No conozco una caracterización de $\mathbb{Z}$ como un monoide conmutativo que puede transportarse a otros entornos. Parece que hay algo profundo en el hecho de que $\mathbb{Z}$ -Los módulos son mucho más agradables que los monoides conmutativos, lo que a menudo se da por sentado.

Answer 3

El tratamiento algebraico de la teoría del lenguaje formal utiliza sistemáticamente semianillos de series de potencias.

Answer 4

Aunque no es un anillo, el grupo de renormalización del campo cuántico es en realidad un semigrupo. Además, no hay ninguna razón razón física para añadir inversos, ya que de hecho físicamente los inversos no necesitan existir. De hecho, el proceso de renormalización a menudo pierde información, admite puntos fijos,...

Answer 5

Nikolai Durov demostró que una mónada algebraica conmutativa con 0 "es" un semiring si y sólo si b(x,0)=x para todo x, donde b es una operación binaria con b(x,y) no idénticamente igual a x.

Así que los semirings son, en cierto sentido, fáciles de conseguir.

Por otra parte, las mónadas algebraicas conmutativas que parecen ser sus ejemplos motivadores, la bola unitaria en un álgebra de Banach conmutativa, no son semirings.