Uso de la desigualdad de Poincare

Question

Supongamos que $\Omega \subset \mathbb{R}$ es un dominio acotado. Entonces, utilizando Poincare-Wirtinger, se puede demostrar que para funciones $f \in W^{1,2}(\Omega)$ existe $C>0$ tal que

$$\|u\|_{L^{2}}^{2} \le C\|u'\|_{L^{2}}^{2} + C\left( \int u(x)~dx \right)^{2}. $$

Pregunta: Supongamos que tenemos una función $u$ que satisface

$$ \|u'\|_{L^{2}}^{2} + \left( \int u(x)~dx \right)^{2} \le C . $$

¿Podemos concluir que $u \in W^{1,2}(\Omega)$ ? La razón por la que no estoy seguro es porque para que podamos utilizar la primera desigualdad necesitamos que $u \in W^{1,2}(\Omega)$ que a priori no tenemos. Creo que la afirmación podría ser cierta y que podemos demostrarlo mediante algún argumento de densidad, pero no estoy seguro de cómo proceder.

Answer 1

Si $\Omega$ tiene una frontera regular (digamos Lipshitz) se puede utilizar el hecho de que como $u' \in L^2(\Omega)$ entonces por desigualdad de Sobolev-Morrey, $u\in C^{0,\alpha}(\Omega)$ para algunos $\alpha>0$ por lo que está limitada en $\Omega$ . Esto implica que $u\in L^2$ desde $\Omega$ está limitada.

Answer 2

Si $u$ satisface esta segunda desigualdad, ya deberíamos tener $u \in W^{1,2}(\Omega)$ ou $u \in C^1(\Omega) \subseteq W^{1,2}(\Omega) $ o si no, ¿cómo se define $u'$ dentro del $L^2$ ¿Norma?