Si $B\subseteq X$ es un subconjunto cualquiera, entonces
$$q^{-1}(q(B))=\begin{cases} B\cup A&\text{if }B\cap A\neq\emptyset \\ B&\text{otherwise} \end{cases}$$
Por lo tanto, si $B\subseteq X\backslash A$ entonces $q^{-1}(q(B))=B$ . Por lo tanto, si además $B$ está abierto en $X$ entonces $q(B)$ está abierto en $X/A$ . A continuación $A$ está cerrado, entonces $B$ está abierto en $X\backslash A$ si y sólo si está abierto en $X$ . Y por lo tanto $q_{|X\backslash A}$ es un mapa abierto. Por supuesto, es continuo y, por tanto, un homeomorfismo (ya que has señalado correctamente que es una biyección).
En cuanto a la segunda pregunta, observemos primero la sutileza. Nuestro $U/A$ se le pueden dar dos topologías: en primer lugar, la topología del subespacio heredada de $X/A$ y segundo: la topología cociente de $U/A$ . Y normalmente una respuesta dependería de eso. Sin embargo, aquí tenemos una situación especial.
Si consideramos la topología del cociente, la respuesta es bastante trivial: se trata literalmente del mismo razonamiento que antes, sólo hay que sustituir $X$ con $U$ .
En cambio, con la topología subespacial, la respuesta es sólo ligeramente más difícil. Normalmente no tienen por qué coincidir, pero a veces sí. Una consecuencia del teorema 22.1 de "Topología" de Munkres es que esto ocurre siempre que $q$ está cerrado y $U$ está saturado.
Así que en primer lugar $q$ es cerrado, porque dado $F\subseteq X$ tenemos $q^{-1}(q(F))$ es $F$ ou $F\cup A$ y, por tanto, cerrado. Y así $q(F)$ está cerrado.
Por último $U$ está saturado. Y eso es porque $q^{-1}(q(U))=U\cup A=U$ . Ambas igualdades porque $A\subseteq U$ .
Tenga en cuenta que no importa que $U$ es abierto, esto es válido para cualquier $U$ mientras $A\subseteq U$ .
