Desigualdad de tipo Schwarz

Question

A) ¿Es cierta la siguiente afirmación? Sea $h$ sea analítica en el disco unitario tal que $$|h(z)|\le \frac{|z|^2}{1-|z|^2},$$ entonces $$|h'(z)|\le \frac{2}{(1-|z|^2)^2}.$$ a') ¿Es cierta la siguiente afirmación? Sea $h$ sea analítica en el disco unitario tal que $$|h(z)|\le \frac{|z|^2}{1-|z|^2},$$ entonces la desigualdad $$|h'(z)|\le \frac{8}{\pi(1-|z|^2)^2}$$ está afilada. La desigualdad puede demostrarse utilizando la prueba de Schur y el teorema de convexidad de Riesz-Thorin (Dunford & Schwartz 1958, §VI.10.11).

b) Si $$|h(z)|\le \frac{|z|^2}{|1-z^2|}$$ entonces tenemos mejor conclusión $$|h'|\le \frac{2|z|}{(1-|z|^2)|1-z^2|}$$ y esto se deduce utilizando el lema de Schwarz. En este caso $$|H(z)|=|(1-z^2) h(z)/z^2|\le 1.$$ Entonces $$|H'(z)|\le \frac{1-|H(z)|^2}{1-|z|^2}.$$

En $$H'(z)=(1-z^2) h'(z)/z^2-2/z^3 h(z),$$ se deduce que $$|(1-z^2) h'(z)/z^2|\le \frac{2(1-|z|^2)/|z|^3 h(z)+1-|H(z)|^2}{1-|z|^2}$$ $$\le \frac{2|H(z)|/|z| +1-|H(z)|^2}{1-|z|^2}\le \frac{2|z|^{-1}}{1-|z|^2}.$$

La pregunta a) está relacionada con la estimación precisa de la norma de una proyección de Bergman en el espacio de Bloch y está lejos de ser una tarea.

Answer 1

Parece que vamos a cerrar la pregunta de todos modos, así que daré un contraejemplo rápidamente antes de que se emita el voto final.

Si se piensa un poco en lo que se pide y cuáles son las libertades naturales y escalas presentes aquí, se verá que es suficiente para obtener una analítica $f$ en el semiplano derecho $x>0$ ( $z=x+iy$ como de costumbre) tal que $|f|<1/x$ y $|f'(1)|>1$ . Ahora toma algo como $f(z)=\frac 1z-aze^{-\sqrt{z}}$ con un valor positivo suficientemente pequeño $a$ . Se lo dejo a otro para que le gane $4$ en el límite superior.

En cuanto a la "motivación" en general, mira hacia arriba por la noche. Verás las estrellas en el cielo. ¿Qué otra motivación necesitas?

Answer 2

Sea $|z|=r$ aplicando la estimación de Cauchy al disco $|\zeta-z|<(1-r)/2$ . Obtenemos $$|f'(z)|\leq \frac{2}{1-r}\frac{(1+r)^2}{(1-r)(3+r)}.$$ Maximizar el factor $(1+r)^2/(3+r)$ por Cálculo, obtenemos que es como máximo $1$ .

Esto da $$|f'(z)|\leq\frac{2}{(1-|z|)^2}$$ que es peor que la conjeturada sólo por un factor de $(1+|z|)^2$ que es como máximo $4$ . Quizás se pueda mejorar la constante aplicando Cauchy a un disco de radio $t\in(0,1-r)$ , y luego optimizar en $t$ lo que lleva a resolver una ecuación cúbica.

No es probable que exista una función extrema simple, y probablemente para cada $z$ habrá una función extrema diferente.