Algunas preguntas sobre funciones y espacios vectoriales

Question

Tengo tres preguntas sencillas sobre si una función forma un espacio vectorial o no Espero que alguien pueda verificar mi intuición.

1. ¿Las funciones que desaparecen en los puntos extremos x = 0 y x = L forman un espacio vectorial?

Sí, porque cualquier función entre estos puntos satisface la propiedad de aditividad y multiplicidad con un escalar. Además, podemos construir un vector nulo que es la función f(x) = 0 sobre 0 y L. Por último, -f(x) es la inversa de f(x) sobre este espacio.

2. ¿Las funciones periódicas que obedecen f(0) = f(L) forman un espacio vectorial?

Sí, igual que arriba.

3. ¿Los vectores que obedecen a f(0) = 4 forman un espacio vectorial?

Este es un poco raro. Intuitivamente no hay inversa porque no tenemos ninguna función que satisfaga f(0) = -4, así que todas estas funciones no satisfacen la propiedad de un espacio vectorial.

¿Alguien puede comprobar si lo he entendido bien? Gracias.

Answer 1

La segunda parte también forma un espacio vectorial lineal. Hay un fallo en el argumento anterior.

El requisito es que $f(0) = f(L)$ . Supongamos que $2f = g$ entonces debemos tener $g(0) = g(L)$ lo cual es cierto. $g(0)$ no tiene por qué ser equivalente a $f(0)$ seguiría siendo cerrado bajo multiplicación escalar.

Answer 2

Tu razonamiento en la parte 1 es sólido. Sin embargo, la parte 2 no es correcta. Observe que si $f(0) = f(L) = 1$ entonces la colección de funciones con estas condiciones no es cerrada bajo multiplicación escalar. Por ejemplo $2f$ no estaría en su espacio desde $2f(0) = 2f(L) = 2 \neq f(0)$ . Tu argumento en la 3 también es bueno, pero ¿por qué es raro? Yo no lo veo raro en absoluto: algunas colecciones tienen una estructura algebraica (o de espacio vectorial) inherente y otras no. No hay ninguna promesa de que cualquier conjunto que se te ocurra tenga estructura.