Equilibrio general para matemáticos

Question

He estado leyendo mucho sobre la reciente crisis financiera, y en el centro de la historia está la existencia de modelos de equilibrio general en economía, digamos, como demostraron Arrow y Debreu (¿y MacKenzie?). Independientemente de la validez de estos modelos en el mundo real (últimamente no parecen tan atractivos), me interesan como ejercicio puramente matemático. Dicho esto, ¿alguien conoce una buena exposición (preferiblemente disponible en línea) de la existencia de un equilibrio general dirigida a matemáticos?

Answer 1

Sería difícil superar la Teoría del Valor de Debreu

http://cowles.econ.yale.edu/P/cm/m17/index.htm

una obra maestra de la exposición económica.

Answer 2

Un avance matemáticamente interesante en la teoría del equilibrio general es la aplicación de herramientas de la topología diferencial, como el lema de Sard. Véase el El colector de equilibrio ( Amazon ) o de Mas-Colell Teoría del equilibrio económico general . Para hacerse una idea de este enfoque, consulte este artículo en línea de Geanakoplos y Polemarchakis.

Answer 3

Creo que merece la pena señalar que, desde un punto de vista puramente matemático, la teoría del equilibrio general económico es un ejercicio de teoría del punto fijo.

Lo mismo puede decirse de la teoría de los juegos no cooperativos. John Nash inventó en su tesis el concepto de solución ahora conocido como equilibrio de Nash. VonNeumann tachó el resultado de Nash de "mero teorema del punto fijo", pero Nash acabó recibiendo el premio nobel de economía por este trabajo.

La configuración matemática de la teoría económica del equilibrio general se centra en la construcción de lo que se denomina la "correspondencia del exceso de demanda". Ésta se deriva de supuestos sobre cómo los consumidores y los productores formulan sus planes para aprovechar al máximo los precios que observan en el mercado. La correspondencia de exceso de demanda asocia a cualquier vector de precios de mercado (un precio por cada producto) el conjunto convexo de vectores de exceso de demanda agregada (un exceso de demanda -posiblemente negativo- por cada producto) que surgirá cuando consumidores y productores respondan a ese vector de precios especificado.

La idea principal de la prueba consiste entonces en encontrar otro conjunto convexo de vectores de precios, cada uno de los cuales puede interpretarse como un hiperplano de apoyo al conjunto convexo dado de demandas excesivas, y cada uno de los cuales maximiza el valor de mercado del exceso de demanda.

Se puede demostrar que esta construcción da lugar a una función semicontinua superior, valorada en conjuntos convexos, que va del conjunto convexo de vectores admisibles de precios de mercado al espacio de subconjuntos convexos. A continuación, se aplica una teoría de punto fijo adecuada para deducir la existencia de un vector de precios que, debido a la estructura de la correspondencia del exceso de demanda, tiene la propiedad de que el valor del exceso de demanda en cada mercado es cero. Este es el vector de precios de equilibrio del mercado.

Answer 4

Kim Border tiene un montón de excelentes notas de clase relacionados con la economía matemática, incluidos algunos sobre la teoría del equilibrio general. El sitio apuntes sobre la teoría del equilibrio general de Nicholas Yannelis son muy extensos e introducen muchas de las matemáticas relacionadas.

El artículo original de Arrow y Debreu, probablemente el artículo más famoso sobre la existencia de un equilibrio general, puede encontrarse en aquí . Se basa en un resultado de Debreu que se encuentra aquí . Ted Bergstrom tiene un bonito encuesta sobre cómo debilitar varios supuestos utilizados en muchas pruebas de existencia. En particular, cómo debilitar sustancialmente los requisitos de racionalidad.

Los matemáticos podrían estar interesados en que la existencia de equilibrio también se ha demostrado para algunos modelos de dimensión infinita que son importantes para las finanzas, la teoría del crecimiento y otros campos. Esta literatura hace mucho uso del análisis funcional, especialmente de los espacios de Riesz. Mas-Colell y Zame han realizado un buen estudio al respecto aquí .

Answer 5

Un breve artículo con el que he estado luchando y que ofrece una perspectiva sobre cómo se relacionan los equilibrios intertemporales con la información que necesitan los agentes económicos para tomar decisiones.

Fortnow, Killian y Pennock (2006), Apostar al estilo booleano: Un marco para la negociación de valores basado en fórmulas lógicas El estudio de Arrow-Debreu proporciona una caracterización de lo que un creador de mercado debe hacer, desde el punto de vista de la teoría de la información, para ofrecer una fijación de precios coherente si ofrece lo que los autores denominan garantías de Arrow-Debreu, que son apuestas sobre precios futuros. Los autores admiten en sus conclusiones que no saben si el equilibrio en su modelo coincide con la noción de equilibrio de Arrow-Debreu.

El problema de la reconversión, que fue uno de los temas centrales de la controversia de Cambridge sobre el capital (CCC), llevó a los antineoclásicos a afirmar que las paradojas en la valoración de los activos con tipos de interés variables significaban que no existía una noción unitaria del valor de los bienes utilizados en la producción y que, por tanto, el "capital" era una noción incoherente en la economía dominante. Las matemáticas de los ejemplos básicos de reswitching son agradablemente sencillas, aunque no lo sea su interpretación: Vienneau (2006) Un modelo para explorar las manifestaciones de las "paradojas" de la teoría del capital en los equilibrios temporales introduce un ejemplo de reajuste de dos bienes y tres procesos, y muestra cómo el modelo no tiene un único equilibrio a largo plazo debido a la inversión del capital. El autor menciona brevemente las defensas de los modelos de equilibrio general en el CCC de Debreu y Samuelson, y no llega a ninguna conclusión, salvo que ha proporcionado un modelo útil para estudiar el efecto de la reorientación y la inversión del capital en la dinámica de los equilibrios.