Una pregunta sobre la convergencia de la serie en un punto dado si la serie funcional convergencia uniforme en el intervalo

Question

¿Podría darme alguna pista sobre cómo demostrar esta afirmación? Si $f_n(x)$ es una sucesión continua en [0,1] y la serie $\sum_{n\ge1}f_n(x)$ converge uniformemente en [0,1) entonces la serie $\sum_{n\ge1}f_n(1)$ converge.

No tengo ni idea de cómo empezar.

Gracias.

Answer 1

(Pista) Utilizar de alguna manera la desigualdad $$|s_m(1)-s_n(1)|\le$$$$ |s_m(1)-s_m(x)|+|s_m(x)-s_n(x)|+|s_n(x)-s_n(1)| $$ where $ s_n$ es una suma parcial.

Answer 2

Fijar $\epsilon > 0$ . Para cada $n$ , $s_n = \sum_{i=1}^n f_i$ es continua en $1$ . Por lo tanto, para cada $n$ podemos elegir $\delta_n > 0$ tal que para cualquier $|y - 1| \le \delta_n$ , $|s_n(y) - s_n(1)| < \frac{\epsilon}{3}$ . Además, podemos garantizar que $\delta_n$ disminuye.

Ahora, elija $N$ tal que para $m, n > N$ , $|s_m(x) - s_n(x)| < \frac{\epsilon}{3}$ para cualquier $x \in [0,1)$ . Entonces para $m > n > N$ , \begin{align*} \quad &\left| s_m(1) - s_n(1) \right| \\ &\le \left| s_m(1) - s_m(1 - \delta_m) \right| + \left| s_m(1 - \delta_m) - s_n(1 - \delta_m) \right| + \left| s_n(1 - \delta_m) - s_n(1) \right| \\ \end{align*} Todos los términos son $< \frac{\epsilon}{3}$ los dos primeros términos directamente y el tercero desde $\delta_m < \delta_n$ .