Integre $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-x^2}}{(x + jp)^M (x - jp)^M } dx$

Question

Quiero resolver:

$$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-x^2}}{(x + jp)^M (x - jp)^M } dx$$

donde $M \in \mathbb{Z}_{++}$ es par. Para empezar, creo un contorno cuadrado $\Gamma$ en el plano medio superior: $[-R, R], [R, R+ja], [R+ja, -R+ja], [-R+ja, -R]$ donde $a > p$ et $p \in \mathbb{R}_{++}$ . Así lo he hecho:

$$ \int_{\Gamma} f(z) dz = \int_{\Gamma} \frac{e^{-z^2}}{(z + jp)^M (z - jp)^M } dz = \left[ \int_{-R}^{R} + \int_{R}^{R + ja} + \int_{R+ja}^{-R + ja} + \int_{-R + ja}^{-R} \right] \frac{e^{-z^2}}{(z + jp)^M (z - jp)^M } dz$$

donde $ \int_{\Gamma} f(z) dz = \text{Res}_{f(z)}\left( z = jp \right)$ y dejaré que $R \rightarrow \infty$ .

Es fácil demostrar que $ \left[ \int_{R}^{R + ja} + \int_{-R + ja}^{-R} \right] \left( \cdot \right) = 0 $ . Sólo dejamos que $z = \pm r + jb$ respectivamente, para $b \in [0, a]$ y obtenemos $e^{-R^2}$ delante de las integrales, que se hace cero cuando R se hace infinito.

Tengo problemas con la integral $\int_{R+ja}^{-R + ja} \frac{e^{-z^2}}{(z + jp)^M (z - jp)^M } dz$ sin embargo. Dejar $z = r+ j\alpha$ para $r \in [-R, R]$ no parece hacerlo.

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Preguntas:

1. ¿Cómo puedo calcular $\int_{R+ja}^{-R + ja} \frac{e^{-z^2}}{(z + jp)^M (z - jp)^M } dz$ ?
2. ¿Estoy en lo cierto al decir que puedo utilizar aquí el teorema del residuo, tal como lo he hecho?

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Edit: Soy un completo n00b así que por favor ten paciencia y explícame como si tuviera cinco años.

Edit2: Para toda la integral, mathematica me da $\sqrt{\pi} \cdot \text{HypergeometricU}\left[M, M + \frac{1}{2}, p^2 \right]$

Answer 1

No hay nada que esperar para que el teorema del residuo ceda aquí (especialmente porque un CAS informa de funciones especiales en la respuesta). Pero hay otro enfoque (tal vez más fácil): $$f_n(a):=\int_{-\infty}^\infty(a+x^2)^{-n-1}e^{-x^2}\,dx=\frac{(-1)^n}{n!}\frac{d^n}{da^n}f_0(a)$$ para $a>0$ y $f_0(a)=e^a g(a,1)$ donde para $t\geqslant 0$

\begin{align*} g(a,t)&=\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{-t(a+x^2)}}{a+x^2}\,dx=\int_{-\infty}^\infty\int_t^\infty e^{-y(a+x^2)}\,dy\,dx \\&=\int_t^\infty e^{-ay}\int_{-\infty}^\infty e^{-yx^2}\,dx\,dy=\sqrt\pi\int_t^\infty e^{-ay}\frac{dy}{\sqrt y} \\&=2\sqrt{\frac\pi a}\int_{\sqrt{at}}^\infty e^{-x^2}\,dx=\frac{\pi}{\sqrt a}\operatorname{erfc}\sqrt{at}. \end{align*}

La integral dada es $f_{M-1}(p^2)$ .