Antecedentes de por qué quiero esto:
Me gustaría comprobar que la suspensión en una categoría modelo simplicial es lo mismo que la suspensión en la cuasicategoría obtenida componiendo la asignación de Rezk de un espacio de Segal completo a una categoría modelo simplicial con el "functor de primera fila" de Joyal y Tierney de espacios de Segal completos a cuasicategorías. El funtor de Rezk construye primero un conjunto bisimplicial (yo diré espacio simplicial) con una descripción muy agradable en términos de la categoría modelo, y luego toma una sustitución fibrante de Reedy en la categoría de espacios simpliciales. Tomar esta sustitución fibrante es la única parte del proceso que no me parece extremadamente concreta.
Para tomar un sustituto de fibrant Reedy $X_*'$ para un espacio simplicial $X_*$ se puede factorizar una secuencia de mapas de conjuntos simpliciales como equivalencias débiles seguidas de fibraciones. El primero de estos mapas es $X_0 \rightarrow *$ . Si lo factorizo como $X_0 \rightarrow X_0' \rightarrow *$ el siguiente mapa a factorizar es $X_1 \rightarrow X_0' \times X_0'$ y factores como $X_1 \rightarrow X_1' \rightarrow X_0' \times X_0'$ . (Todos los mapas proceden de $X_n$ en el $n$ el espacio coincidente del reemplazo que estás construyendo, pero estos dos primeros espacios coincidentes son tan fáciles de describir que he querido escribirlos explícitamente).
Antecedentes de la pregunta:
El argumento del objeto pequeño nos da una forma de factorizar cualquier mapa $X \rightarrow Y$ en una categoría modelo generada cofibrantemente como una equivalencia débil $X \rightarrow Z$ seguido de un fibrado $Z \rightarrow Y$ . (De hecho, como una cofibración acíclica seguida de una fibración.) Sin embargo, el objeto $Z$ este produce es en general difícil de entender.
Si la categoría modelo que nos interesa es la habitual sobre conjuntos simpliciales (las equivalencias débiles son equivalencias homotópicas débiles sobre las realizaciones geométricas, las fibraciones son fibraciones de Kan y las cofibraciones son inclusiones) tenemos algunas formas especiales de factorizar mapas $X \rightarrow *$ como una equivalencia débil seguida de una fibración. Probablemente la más familiar es utilizar las cadenas singulares en la realización geométrica de $X$ hacer $X \rightarrow S(\mid X\mid ) \rightarrow *$ . Esto es de nuevo grande y bastante difícil de entender.
Otro método es el Ex $^\infty$ que aprendí en el libro de Goerss y Jardine. Ex es el adjunto derecho del funtor de subdivisión, que se define primero para los símplices en términos de conjuntos parcialmente ordenados, por lo que tanto el funtor de subdivisión como Ex son muy combinatorios. Existe un mapa natural $X \rightarrow$ Ex $X$ y Ex $^\infty X$ es el colímite de la secuencia $X \rightarrow$ Ex $X \rightarrow$ Ex $^2 X \rightarrow$ ... . Resulta que $X \rightarrow $ Ex $^\infty X \rightarrow *$ es una equivalencia débil seguida de una fibración.
Me gustaría una manera de factorizar un mapa $X \rightarrow Y$ de conjuntos simpliciales como una equivalencia débil seguida de una fibración que es similar en sabor al uso de la Ex de Kan $^\infty$ functor para encontrar un sustituto fibrante de un conjunto simplicial $X$ .
Pregunta:
En el modelo estándar de estructura de categorías sobre conjuntos simpliciales, ¿existe una forma combinatoria de factorizar un mapa como una equivalencia débil seguida de una fibración?
