Del artículo " Sesgo galáctico a gran escala ", intento deducir la ecuación que me dijo mi profesor que relaciona 2 cantidades:
-
la densidad numérica global de galaxias
-
la densidad numérica local de galaxias
-
el contraste de la densidad de la materia oscura
La relación que me gustaría encontrar (la relación dada por mi profesor) es muy simple:
$$N_{1} = n_{1} b_{1}\,\delta_{\text{DM}} \tag{1}$$
donde
$N_{1}$ es la densidad numérica local de galaxias en el Universo,
$n_{1}$ es la densidad numérica global,
$b_{1}$ es el sesgo (sesgo cosmológico de las galaxias) y
$\delta_{\text{DM}}$ el contraste en la densidad de la materia oscura.
Cuando digo "local", me refiero en el volumen de escala que considero (en un cúmulo de galaxias, por ejemplo, ¿no ?)
por el momento, no puedo encontrar esta ecuación.
En el artículo anterior, definen el sesgo haciendo la relación $(1.1)$ (referencia de ecuación en el artículo):
$$\delta_{g}(\vec{x}) = \dfrac{n_{g(\vec{x})}}{\overline{n_{g}}}-1 = b_{1}\,\delta_{\text{DM}}(\vec{x}) = b_{1}\left(\dfrac{\rho_{m}(\vec{x})}{\overline{\rho_{m}}}-1\right) \tag{2}$$
con $b_{1}$ el sesgo.
Como puede ver, en este artículo, los autores razonan con el contraste del número de densidad de galaxias ( $\delta_{g}(\vec{x}))$ y el contraste de densidad de materia de la materia oscura ( $\delta_{\text{DM}}(\vec{x})$ ).
He intentado modificar esta ecuación $(2)$ para obtener $(1)$ pero me atasca la siguiente diferencia: por un lado, se toman densidades de número y por otro, se toman contrastes de densidad (con contraste densidad número y contraste Materia oscura).
Multiplicando ambos por el volumen $V$ no es suficiente ya que existe el valor "-1" en la definición de contraste: No sé si tengo que escribir:
$$\text{Global Number of galaxies} = \overline{n_{g}}\quad V$$
o
$$\text{Local Number of galaxies} = \overline{n_{g}}\quad V$$
???
Creo que tengo que utilizar las siguientes relaciones: $N_{g}\equiv N_{1}$ et $\overline{n_{g}}=n_{1}$ en la relación de mi profesor pero no estoy seguro.
¿Alguien podría ayudarme a encontrar la ecuación (1) a partir de la ecuación (2) de un artículo citado?
ACTUALIZACIÓN 1:
Si tomo la relación eq $(2)$ Puedo escribir:
$$n_{g(\vec{x})} = \overline{n_{g}}\,b_{1}\,\delta_{\text{DM}}+\overline{n_{g}} \tag{3}$$
Como puede ver, $(3)$ no es igual a la ecuación $(1)$ que me gustaría conseguir (ya que un segundo mandato $\overline{n_{g}}$ )
Con las notaciones de la ecuación $(1)$ para ser coherente, creo que tengo que asimilar $N_{1}$ a $n_{g}(\vec{x})$ (densidad local) y $n_{1}$ a $\overline{n_{g}}$ (densidad global o media).
¿Cómo puedo evitar este problema sobre la presencia de este segundo término en eq $(3)$ en comparación con eq $(1)$ ?
Estoy cerca de la igualdad entre ambos, esto es frustrante. Tal vez sea un problema de la convención sobre el factor $b_1$ ?
ACTUALIZACIÓN 2: Pongo aquí la demostración de la expresión deducida de la ecuación $(1)$ sugerido por mi profesor. Dado que su relación puede ser errónea, lo que sigue podría demostrarse seguramente de otra manera, quiero decir con otra definición válida que una la densidad de las galaxias y el contraste de densidad de la materia oscura con el concepto de "sesgo" en cosmología.
1) Relaciones iniciales:
En realidad, supongamos que tenemos 2 muestras de cúmulos de galaxias. Entonces, suponiendo que tenemos:
$$\delta_{g}(\vec{r},z) = b(z)\,\delta_{\text{DM}}(\vec{r},z)\quad(4)$$ donde $b(z)$ es el sesgo que depende del desplazamiento al rojo (por el momento sólo considero esta dependencia para simplificarlo).
Dada una función de correlación de 2 puntos $\xi(\vec{r})$ es la transformada inversa de Fourier del espectro de potencia de la materia, tenemos:
$$\xi_{g}(\vec{r},z) = b(z)^{2} \xi_{\text{DM}}(\vec{r},z)\quad(5)$$
Expresemos ahora la media de la suma cuadrática de la densidad de galaxias de 2 muestras diferentes con $N=N_{1}+N_{2}$ :
\begin{align} <N^2> = <(N_{1}+N_{2})^{2}> & = <(N_{1}+N_{2})(N_{1}+N_{2})> \notag \\ & = <N_{1}^{2}> + <N_{2}^{2}> + 2\,<N_{1}\,N_{2}> \notag \\ & = (n_{1}\,b_{1}\,\delta_{\text{DM}})^2 + (n_{2}\,b_{2}\,\delta_{\text{DM}})^2 + 2\,(n_{1}\,n_{2}\,b_{1}\,b_{2}\,\delta_{\text{DM}}^2) \notag \\ & = n^{2}\,\delta_{g,1+2}^{2}\quad(6) \end{align}
con $n=n_{1}+n_{2}$ la densidad global de las 2 muestras.
Por lo tanto, utilizando $(4)$ et $(5)$ se puede escribir:
$$\xi_{12}=b(z)^{2}\,\xi_{\text{DM}} = \dfrac{\delta_{g,1+2}^{2}}{\delta_{\text{DM}}^{2}}\,\xi_{\text{DM}}\quad(7)$$
2) Calcular el sesgo que representa la "correlación cruzada" entre las 2 muestras (no sé si "correlación cruzada" es la expresión correcta):
utilizando $(4)$ en $\delta_{g,1+2}$ escribiríamos que, con la "fusión" de las 2 muestras, tenemos:
\begin{align} \xi_{12} & = \dfrac{1}{n^2}\,\big(n_{1}^2\,b_{1}^2 + n_{2}\,b_{2} + 2\,n_{1}\,n_{2}\,b_{1}\,b_{2}\big)\,\delta_{\text{DM}}^{2}\,\dfrac{1}{\delta_{\text{DM}}^{2}}\,\xi_{\text{DM}} \notag \\ & = \dfrac{1}{n^2}\,\big(n_{1}^2\,b_{1}^2 + n_{2}^{2}\,b_{2}^{2} + 2\,n_{1}\,n_{2}\,b_{1}\,b_{2}\big)\,\xi_{\text{DM}} \notag \\ & = \dfrac{1}{n^2}\,\big(n_{1}\,b_{1} + n_{2}\,b_{2}\big)^{2}\,\xi_{\text{DM}}\quad(8) \end{align}
Así pues, podríamos concluir con $(5)$ que el sesgo que representa las 2 muestras para un desplazamiento al rojo dado se expresa como:
\begin{equation} b(z) = \dfrac{1}{n}\,\big(n_{1}(z)\,b_{1}(z) + n_{2}(z)\,b_{2}(z)\big) = \dfrac{1}{n_{1}+n_{2}}\,\big(n_{1}\,b_{1} + n_{2}\,b_{2}\big)\quad(9) \end{equation}
Este sesgo de "fusión" es en realidad la media ponderada del sesgo $b_{1}$ et $b_{2}$ con pesos iguales a la densidad de galaxias de cada muestra.
Para concluir, Pasos 1) et 2) en la demostración parece ser bueno, excepto el hecho de que, como @Javier dijo, $\delta$ podría ser negativo cuando escribo : $N_{1} = n_{1} b_{1}\,\delta_{\text{DM}}$ .
Así que tal vez mi profesor implica que manipulamos valores absolutos implícitos para $\delta$ : No lo sé. Por eso tengo dificultades con la relación $(1)$ en comparación con la relación $(2)$ procedente de un artículo citado al principio de mi post.
¿Qué opina al respecto? ¿Hay otras formas de demostración con la relación $\delta_{g}(\vec{r},z) = b(z)\,\delta_{\text{DM}}(\vec{r},z)$ .
ps: Espero haber sido claro en esta pequeña demostración. No dudes en pedirme más información si la necesitas.
ACTUALIZACIÓN 3: @Javier : podrías decirme por favor un método para encontrar la ecuación $(9)$ (media ponderada) mostrando un sesgo "representativo" de 2 muestras e implicando sobre todo el contraste de densidad de las galaxias y los contrates de densidad de la materia oscura . Te agradecería mucho ya que mi demostración no es correcta pero el resultado es razonable como dices. Saludos
