Determinar todos los subespacios $U$ de $\mathbb{R}^3$ tal que $\phi (U)=U$ .

Question

Tenemos la matriz $A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}$ y que $\phi:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3, \ x\mapsto Ax$ sea el endomorfismo a $A$ .

He encontrado los valores propios que son $1,2,-1$ . Como tenemos tres valores propios dinstintos se deduce que $A$ y así también $\phi$ es diagonalizable.

¿Es correcto?

Luego, para cada valor propio calculé los espacios propios. El conjunto de los tres vectores propios forma una base de $\mathbb{R}^3$ ¿verdad?

Quiero determinar todos los subespacios $U$ de $\mathbb{R}^3$ tal que $\phi (U)=U$ .

¿Cómo podemos hacerlo? ¿Está relacionado con los vectores propios?

Answer 1

Lo que hiciste está bien. Y ahora, si $v_1$ , $v_2$ et $v_{-1}$ son los valores propios correspondientes a los valores propios $1$ , $2$ y $-1$ respectivamente, entonces los subespacios $U$ de $\Bbb R^3$ tal que $\phi(U)=U$ son:

• $\{0\}$ ;
• $\Bbb Rv_1$ ;
• $\Bbb Rv_2$ ;
• $\Bbb Rv_{-1}$ ;
• $\Bbb Rv_1\bigoplus\Bbb Rv_{-1}$ ;
• $\Bbb Rv_1\bigoplus\Bbb Rv_2$ ;
• $\Bbb Rv_{-1}\bigoplus\Bbb Rv_2$ ;
• $\Bbb R^3$ .

Está claro que cada uno de estos espacios es invariante. Por otra parte, sea $U\subset\Bbb R^3$ sea tal que $\phi(U)\subset U$ . Si $\dim U$ es $0$ , $1$ o $3$ está claro que $U$ pertenece a la lista anterior. Si $\dim U=2$ , dejemos que $\psi\colon U\longrightarrow U$ sea la restricción de $\phi$ a $U$ . Así que.., $\psi$ tiene $2$ valores propios complejos, que deben ser un subconjunto de $\{1,2,-1\}$ . Pero entonces $U$ tiene que ser uno de los $3$ $2$ -desde arriba.