¿Cómo se elige la "normalización" de los estados no normalizables?

Question

Esta pregunta se refiere a los estados no normalizables en mecánica cuántica, por ejemplo, los estados propios del operador de posición $|x\rangle$ que se definen por la ecuación de valores propios

$$\tag{1} \hat{X}|x\rangle = x|x\rangle.$$

Como el espectro del operador es continuo, los estados no son normalizables al cuadrado. En su lugar se tiene una ecuación como

$$\tag{2} \langle x'|x\rangle = \delta(x-x')$$

que da el significado de solapamiento como distribución . Sin embargo, es evidente que sigue existiendo al menos una ambigüedad a la hora de elegir una constante, es decir, por qué no tener

$$\langle x'|x\rangle = a \times \delta(x-x')$$

donde $a$ es $a \in \mathbb{R} $ .

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Así que fui a ver cómo se deriva la ecuación (2). En el libro de texto de Schleich sobre óptica cuántica en el espacio de fases encontré la siguiente derivación, muy breve y en mi opinión no clara/completa.

A partir de la ecuación (1) que puede tomarse como la definición del operador de posición y la suposición de que el operador es hermitiana que es un postulado fundamental de la mecánica cuántica se obtiene:

$$\tag{3} \left( x - x' \right) \langle x'|x\rangle = 0.$$

Hasta aquí era fácil, pero entonces Schleich salta inmediatamente a la ecuación (2). Pero las soluciones para $\langle x'|x\rangle$ de (3) son todas las funciones/funciones generalizadas que son distintas de cero en todas partes excepto en $x=x'$ . Así que mi pregunta es: ¿Por qué (2) es la única solución? ¿De dónde procede la información adicional?

Mi sospecha es que imponemos otro requisito, que probablemente sea la completitud de los estados, lo que dejaría claro (2), ya que es el elemento de identidad en la representación de la posición.

Answer 1

La ecuación (2) es no determinado de forma única diciendo que el $\lvert x\rangle$ son "estados propios de posición", que para empezar es una mala terminología ya que, de hecho, no son admisibles estados ya que, por definición, los estados pertenecen al espacio de Hilbert y deben ser normalizables. Su tratamiento adecuado requiere la noción de espacios de Hilbert aparejados .

Sin embargo, $\delta(x-x')$ es simplemente la condición para la "base" $\lvert x\rangle$ sea ortonormal, es decir, la ec. (2) es impuesto en lugar de derivarse de algo. Nótese que esa forma del "producto interior" implica $$ 1 = \int \lvert x\rangle\langle x\rvert\mathrm{d}x, $$ por lo que el $\lvert x\rangle$ resuelven la identidad en una generalización del modo en que lo hace una base ortonómica contable habitual como $1 = \sum_n \lvert\psi_n\rangle\langle\psi_n\rvert$ . Así que, efectivamente, son la integridad y la ortonormalidad las que dan lugar a la ec. (2).

Answer 2

Utilizando la Mecánica Cuántica Moderna de Sakurai como base para esta respuesta, antes de estudiar esto en un sistema continuo, podría ser útil estudiarlo primero en un sistema discreto:

Para estados propios de algún operador, $\hat{A}$ , $\mid a'\rangle$ y $\mid a''\rangle$ tal que $\hat{A}\mid a'\rangle = a'\mid a'\rangle$ y $\hat{A}\mid a''\rangle = a''\mid a'\rangle$ da la ecuación $\left(a' - a''\right)\left\langle a''\mid a'\right\rangle = 0$

Por tanto, queremos que las bases propias sean ortonormales, es decir. $\left\langle a'\mid a'\right\rangle = 1$ y $\left\langle a''\mid a'\right\rangle = 0$ para $a'' \neq a'$ . Afortunadamente, ésta es también la definición del delta de Kronecker: $\left\langle a''\mid a'\right\rangle = \delta_{a', a''}$

Suponiendo que todo el espacio está cubierto por esta base propia, ahora tenemos una base completa.

Ahora, extendiendo esto a un sistema continuo, la función delta de Dirac es la versión continua de la delta de Kronecker - véase por ejemplo esta pregunta por lo que es totalmente lógico e intuitivo sustituir la delta de Kronecker en sistemas discretos por la función delta de Dirac. Sí, el uso de la delta de Kronecker en primer lugar es en realidad sólo una convención que da integridad de los estados (como usted ha dicho), pero si no está roto ...

Ahora, en un sistema continuo, tenemos que la identidad es $1 = \int dx\, \mid x\rangle\langle x\mid$ , dando $\left\langle x'\mid x''\right\rangle = \int dx\, \left\langle x'\mid x\rangle\langle x\mid x''\right\rangle$ y así la función delta de Dirac coincide con esto.