2 votos

Demostrar que la fdc conjunta es continua

Sea $X$ tienen una distribución normal estándar y $Y=2X$ . Mostrar la fdc $F(x, y)$ de $(X, Y)$ es continua.

Lo he intentado a continuación, pero creo que voy bastante desencaminado.

$$F_{XY}(x, y) = P(X \le x, 2X \le y) = P(X \le (x \wedge \frac{y}{2}))$$

$$ \Phi(x) = F_{XY}(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^\frac{-z^2}{2}\text{d}z, \quad\text{ if } x \le \frac{y}{2}\\ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^\frac{-z^2}{8}\text{d}z, \quad\text{ if } x > \frac{y}{2} \end{cases} $$

$$ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^\frac{-z^2}{2}\text{d}z = \frac{\operatorname{erf}(\frac{x}{\sqrt{2}})}{2}+1 $$

$$ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^\frac{-z^2}{8}\,\text{d}z = \operatorname{erf} \left(\frac{x}{2^\frac{3}{2}}\right) $$

$$ \operatorname{erf}(x) \text{ continuous } \implies F_{XY}(x,y) \text{ continuous } $$

1voto

Mathemagical Puntos 226

El comentario de Falrach es acertado y tu planteamiento también. Pero he aquí una forma más breve de decirlo.

Sea $m(x, y)=x \wedge \frac{y}{2}$ . Entonces $m: {\mathbb{R}}^2 \to \mathbb{R}$ es continua. Como usted ha señalado,

$$F_{X,Y}(x, y) = P(X \le m) = G(m(x,y))$$ donde $G$ es la FDA de la distribución normal estándar, una función continua.

Siendo la composición de dos funciones continuas $G$ y $m$ , $F : {\mathbb{R}}^2 \to \mathbb{R}$ es continua.

Cómo demostrar que $m$ ¿es continua? Es de nuevo la composición de $\wedge$ y la función continua de reducción a la mitad $y\mapsto \frac{y}{2}$ . Para demostrar que $x \wedge z$ es continua: fácil en $x=z$ . En cualquier otro lugar, hay un pequeño $\delta$ -bola dentro de la cual es simplemente la proyección $x$ o $z$ .

1voto

Michael Hardy Puntos 128804

Tu primera línea después de la palabra "abajo" tiene buena pinta. Yo la ampliaría para que dijera $$ F_{X,Y}(x, y) = P(X \le x\ \&\ 2X \le y) = P\left(X \le \left(x \wedge \frac y 2 \right) \right) = \Phi\left( x \wedge \frac y 2 \right). $$ Entonces la pregunta es: ¿Cómo demostrar que $\displaystyle (x,y) \mapsto \Phi\left( x \wedge \frac y 2 \right)$ ¿es continua?

Si puede demostrar $(x,y) \mapsto x \wedge \dfrac y 2$ es continua y $\Phi$ es continua, basta con citar un teorema que diga que una composición de funciones continuas es continua.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X