Sea $X$ tienen una distribución normal estándar y $Y=2X$ . Mostrar la fdc $F(x, y)$ de $(X, Y)$ es continua.
Lo he intentado a continuación, pero creo que voy bastante desencaminado.
$$F_{XY}(x, y) = P(X \le x, 2X \le y) = P(X \le (x \wedge \frac{y}{2}))$$
$$ \Phi(x) = F_{XY}(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^\frac{-z^2}{2}\text{d}z, \quad\text{ if } x \le \frac{y}{2}\\ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^\frac{-z^2}{8}\text{d}z, \quad\text{ if } x > \frac{y}{2} \end{cases} $$
$$ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^\frac{-z^2}{2}\text{d}z = \frac{\operatorname{erf}(\frac{x}{\sqrt{2}})}{2}+1 $$
$$ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^\frac{-z^2}{8}\,\text{d}z = \operatorname{erf} \left(\frac{x}{2^\frac{3}{2}}\right) $$
$$ \operatorname{erf}(x) \text{ continuous } \implies F_{XY}(x,y) \text{ continuous } $$