Conjunto compacto Topología de Sorgenfrey.

Question

Sea $\mathbb{R}$ con la topología de Sorgenfrey donde los elementos de base son de la forma $[a,b)$ . Si $A\subseteq\mathbb R$ es compacto, entonces $A$ es contable.

Traté de encontrar un conjunto $A$ no contable que tenga una cubierta que no pueda reducirse a una finita, pero no he podido encontrarla. ¿Es posible hacerlo de otra manera?

Answer 1

Puede consultar este artículo en Wikipedia que tiene una prueba.

Answer 2

SUGERENCIA: Esta respuesta muestra que si $A$ es incontable, hay un incontable $A_0\subseteq A$ tal que si $V$ es un intervalo abierto en $\Bbb R$ entonces $V\cap A_0=\varnothing$ o $V\cap A_0$ es incontable. Fije $a\in A_0$ y mira la tapa abierta

$$\{(\leftarrow,x):x<a\}\cup\{[a,\to)\}$$

de $A$ .

Answer 3

Pistas:

1. Todo conjunto incontable de números reales contiene una sucesión infinita estrictamente creciente.

2. Demuestre que si un subespacio $X$ de la línea de Sorgenfrey contiene una secuencia infinita estrictamente creciente, entonces $X$ tiene una cubierta abierta sin subcubierta finita.

Answer 4

Un ejemplo sencillo: $[0,1]$ no es compacta en la topología de Sorgenfrey porque la cubierta abierta $U_n = [0, 1-\frac{1}{n}), n \ge 2$ junto con $[1,2)$ es una cubierta abierta de $[0,1]$ que no tiene subcubierta finita: supongamos que la tuviera: dejemos que $k$ sea el mayor de los $n$ utilizado en el primer tipo de conjunto abierto; entonces $1-\frac{1}{k+1}$ no está cubierto por ninguno de los conjuntos de la cubierta (ya que todos los puntos de la derecha del $U_n$ en la cubierta son más pequeños por construcción, y $[1,2)$ sólo está ahí para cubrir $1$ ).