Ley del estadístico inconsciente: aplicación en la función característica

Question

Sea $g(x)=(x-a)\mathbf 1_{x\ge a}$ para algunos $a>0$ y que $X$ sea una variable aleatoria no negativa con fdc $F$ y $E[X]<+\infty$ . Quiero calcular $$\frac{d}{da}E[g(X)]$$ Para ello he pensado como primer paso utilizar esta fórmula ici :

...Utilizando representaciones como la integral de Riemann-Stieltjes y la integración por partes la para $$\operatorname {E}[g(X)]=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)\,\mathrm{d}P(X\le x)=g(a)+\int _{a}^{\infty }g'(x)P(X>x)\,\mathrm {d} x$$ si $P\left(g(X)\geq g(a)\right)=1$ .

Así que calculé $$g'(x)=\begin{cases}0, & 0\le x< a \\ \text{undefined}, & x=a \\ 1, & a<x \end{cases}$$ y puesto que $P(g(X)>g(a))=P(g(X)>0)=1$ , escribí: $$E[g(X)]=g(a)+\int_{a}^{+\infty}(1-F(x))\,\mathrm{d}x=\int_{a}^{+\infty}(1-F(x))\,\mathrm{d}x \tag{1}$$ Mi primera pregunta: ¿Es esto correcto, o es $g'(x)|_{x=a}$ ¿la indefinición es un problema?

Así, tomando la derivada de $(1)$ me da que $$\frac{d}{da}\int_{a}^{+\infty}1-F(x)\, \mathrm dx=F(a)-1 \tag{2}$$ Mi segunda pregunta: ¿Es correcto este derivado?

Gracias de antemano.

Answer 1

La fórmula (1) es correcta para cualquier variable aleatoria (v.a.r.) $X$ y cualquier $a$ incluso sin asumir que $X$ es no negativo y/o continuo. De hecho, por el teorema de Fubini--Tonelli, $$\int_a^\infty (1-F(x))\,dx =\int_a^\infty P(X>x)\,dx =\int_a^\infty dx \int_{(x,\infty)}P(X\in du) $$ $$=\int_{\mathbb R}dx\,I\{x\ge a\}\int_{\mathbb R}I\{u>x\} P(X\in du) $$ $$=\int_{\mathbb R}P(X\in du)\int_{\mathbb R}dx\,I\{u>x\ge a\} $$ $$=\int_{\mathbb R}P(X\in du)(u-a)_+ = E(X-a)_+; $$ ici $I\{\cdot\}$ denota la función indicadora.

Supongamos ahora que $E X_+<\infty$ (sus condiciones $X\ge0$ y $EX<\infty$ son más que suficientes para ello). A continuación, $E(X-a)_+<\infty$ para todos los reales $a$ . Además, por (1), las derivadas derecha e izquierda de $E(X-t)_+$ en $t$ en $t=a$ igual $-\lim_{x\downarrow a}P(X>x)=-P(X>a)=F(a)-1$ y $-\lim_{x\uparrow a}P(X>x)=-P(X\ge a)=F(a-)-1$ respectivamente. Si $P(X=a)=0$ entonces la derivada de $E(X-t)_+$ en $t$ en $t=a$ existe y es igual a $-P(X>a)=F(a)-1$ .

Adenda: Una forma más directa de calcular estas derivadas unilaterales (de nuevo para cualquier v.r. $X$ con $E X_+<\infty$ ) es la siguiente. Sea $f_{a,h}(x):=\frac1h\,[(x-a)_+-(x-a-h)_+]$ . Entonces $0\le f_{a,h}(x)\le1$ de verdad $x$ y real $h>0$ y $\lim_{h\downarrow0}f_{a,h}(x)=I\{x>a\}$ . Por lo tanto, la derivada derecha de $E(X-t)_+$ en $t$ en $t=a$ es igual a $$-\lim_{h\downarrow0}\frac{E(X-a)_+-E(X-a-h)_+}h =-\lim_{h\downarrow0}Ef_{a,h}(X)=-EI\{X>a\}=-P(X>a),$$ por el teorema de convergencia dominada. De forma similar, para la derivada izquierda.