Verificación de la solución de expresar una variable en términos de otra, utilizada en los procedimientos de ortogonalización de Schweinler-Wigner.

Question

No entiendo cómo $$\mathbf{w}_{\kappa}=\sum_{k} p_{\kappa}^{-\frac{1}{2}} u_{k \kappa} \mathbf{v}_{k}\implies\mathbf{v}_{k}=\sum_{\kappa} u_{k \kappa}^{*} p_{\kappa}^{\frac{1}{2}} \mathbf{w}_{k}$$ dado $\sum_{\kappa=1}^{n} u_{k \kappa}^{*} u_{\ell \kappa}=\delta_{k l}$ .

---

Cuando intenté resolverlo, obtuve una suma extra:

Tenemos $\omega_{\kappa}=\sum_{k=1}^{n} p_{\kappa}^{-1 / 2} u_{k \kappa} v_{k}$ así que $$u_{k \kappa}^{*} p_{\kappa}^{1 / 2} \omega_{\kappa}=\sum_{k=1}^{n} u_{k \kappa}^{*} p_{\kappa}^{1 / 2} p_{\kappa}^{-1 / 2} u_{k \kappa} v_{k}\implies\sum_{\kappa=1}^{n} u_{k \kappa}^{*} p_{\kappa}^{1 / 2} \omega_{\kappa}=\sum_{k=1}^{n}\left(\sum_{\kappa=1}^{n} u_{k \kappa}^{*} u_{k \kappa}\right) v_{k}.$$ Desde $\sum_{\kappa=1}^{n} u_{k \kappa}^{*} u_{\ell \kappa}=\delta_{k l}$ se deduce que $$\sum_{k=1}^{n} u_{k \kappa}^{*} p^{1/2} \omega_{\kappa}=\sum_{k=1}^{n}\left(\delta_{k k}\right) v_{k}=\sum_{k=1}^{n} v_{k}.$$

Para más detalles sobre este problema, véanse las ecuaciones $(3')$ , $(6)$ y $(6')$ de Schweinler (1970) .

Answer 1

Tenga en cuenta que $u_{k\kappa}^*$ depende de $k$ no podemos colocarlo dentro de la suma. Así que \begin{align}\mathbf{w}_{\kappa}=\sum_{k} p_{\kappa}^{-1/2} u_{k \kappa} \mathbf{v}_{k}&\implies u_{k \kappa}^{*} p_{\kappa}^{1/2} \mathbf{w}_{\kappa}=u_{k \kappa}^{*}\sum_kp_{\kappa}^{1 / 2} p_{\kappa}^{-1 / 2}u_{k \kappa}\mathbf{v}_{k}=u_{k \kappa}^{*}\sum_ku_{k \kappa}\mathbf{v}_{k}\\&\implies\sum_\kappa u_{k \kappa}^{*} p_{\kappa}^{1/2} \mathbf{w}_{\kappa}=\sum_\kappa u_{k \kappa}^{*}\sum_ku_{k \kappa}\mathbf{v}_{k}\end{align} Agrupando en términos de ${\mathbf v}_k$ se puede reescribir como \begin{align}\sum_\kappa u_{k \kappa}^{*}\sum_ku_{k \kappa}\mathbf{v}_{k}&=\sum_\ell\left(\sum_\kappa u_{k\kappa}^*u_{\ell\kappa}\right){\mathbf{v}}_\ell=\sum_\ell\delta_{k\ell}{\mathbf{v}}_\ell\end{align} por la identidad de normalización. La suma es cero excepto cuando $\ell=k$ Así que ${\mathbf v}_k=\sum_\kappa u_{k \kappa}^{*} p_{\kappa}^{1/2} \mathbf{w}_{\kappa}$ .