Ecuación de Laplace y problema de condiciones de contorno

Question

Calcular el potencial y el campo eléctrico en el punto $P(r,,\phi)$ donde $|r|> l/2$ debido a una varilla delgada no conductora de longitud $l$ que lleva una carga total $Q$ que se distribuye uniformemente en la varilla. Utiliza la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas.

¿Cómo se ataca este tipo de problema? ¿Basta con utilizar enseguida la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas?

Answer 1

La ecuación de Laplace:

$$\nabla^2 P=0\tag{1}$$

Buscamos una función $P(r,\theta, z)$ de modo que $(1)$ en coordenadas cilíndricas (y en abreviatura PDE) da:

$$\frac{1}{r}P_r+P_{rr} +\frac{1}{r^2}P_{\theta \theta}+P_{zz}=0$$

Debido a los requisitos de simetría:

$$P_{\theta}=0$$

para que:

$$\frac{1}{r}P_r+P_{rr} +P_{zz}=0$$

Si suponemos que $P(r,z)$ es de la forma:

$$P(r,z)=R(r)Z(z)$$

entonces por Separación de variables podemos afirmar:

$$\frac1r\frac{R'}{R}+\frac{R''}{R}+\frac{1}{r^2}\frac{Z''}{Z}=0$$

y:

$$r\frac{R'}{R}+r^2\frac{R''}{R}=-\frac{Z''}{Z}=-m^2$$

donde $m^2$ es una constante de separación. obtenemos entonces $$r^2 R''+rR'+m^2 R=0\tag{1}$$ $$Z''-m^2Z=0\tag{2}$$

Así que tenemos dos EDOs, una para $R(r)$ uno para $Z(z)$ .

Lamentablemente, no se han proporcionado las tan necesarias condiciones de contorno, aparte de " que lleva una carga total $Q$ que se distribuye uniformemente en la varilla. "

Si la varilla tiene longitud $l$ y radio $R_o$ entonces su volumen es:

$$V=\pi R_o^2 l$$

y la distribución uniforme de la carga $q(r,z)$ :

$$q(r,z)=\frac{Q}{V}$$

---

Según Kyle Pérez " en los comentarios:

" $P( r= \infty, z) = 0$ y $P(r, z =\infty) = 0$ . Análogamente, el campo eléctrico debe llegar a 0 en el infinito ( $\nabla P (r = \infty, z) = 0$ y $\nabla P(r, z = \infty) = 0$ )"

Por supuesto, esto es indiscutiblemente correcto. Pero no existen BC del tipo $P(r,|\pm l/2|)=f(q)$ o $P(R_o,z)=g(q)$ que también son necesarios.

Answer 2

Yo utilizaría la forma general de la función armónica axisimétrica $$ \varphi(r,\theta,\phi)= \sum_{l=0}^\infty a_l r^{-(l+1)} P_l(\cos \theta) $$ junto con la forma del función generadora de los polinomios de Legendre $$ \frac 1{\sqrt{r^2+R^2-2rR\cos\theta}}= \sum_{l=0}^\infty \left(\frac R r\right)^{-(l+1)} P_l(\cos\theta) $$ válido para $r>R$