Integración de una función en una convolución, sustitución de variables

Question

Sea $f(x)= \begin{cases} 1 & |x|\lt 1 \\ 0 & |x|\ge 1 \end{cases}$

Quiero encontrar la convolución $f(x) \ast f(x) = \int\limits^{\infty}_{-\infty}f(y)f(x-y)\,\mathrm{d}y$

Empecé por: $\;\;=\int\limits_{-1}^{1}f(x-y)\,\mathrm{d}y\;\;$ a partir de aquí he probado la sustitución de variables: $t=x-y,\;\; \mathrm{d}t=-\mathrm{d}y$

y luego me sale $\int\limits^{x-1}_{x+1}-\mathrm{d}t=-t|^{x-1}_{x+1}=-(x-1-x-1)=2$

Sé que la respuesta es $f(x)\ast f(x) = \begin{cases} 2-|x| & |x|\lt 2 \\ 0 & |x|\ge 2\end{cases}\;\;$ pero no puedo averiguar por qué (aquí está el Respuesta de Wolfram alpha ).

Gracias por su tiempo y esfuerzo.

Answer 1

Intenta resolver esto, reescribiendo $f$ como $f(x)=\mathbf 1_{|x|\lt1}$ .

Por cada $y$ , $f(y)f(x-y)=\mathbf 1_{|y|\lt1}\mathbf 1_{|x-y|\lt1}=\mathbf 1_{-1\lt y\lt1}\mathbf 1_{x-1\lt y\lt x+1}=\mathbf 1_{y\in D(x)}$ con $$ D(x)=(-1,1)\cap(x-1,x+1). $$ Así, $D(x)=\varnothing$ si $|x|\geqslant2$ , $D(x)=(x-1,1)$ si $x\in[0,2)$ y $D(x)=(-1,x+1)$ si $x\in(-2,0]$ .

Entonces, $f\ast f(x)$ es la longitud del intervalo $D(x)$ . Esta longitud es $0$ si $|x|\geqslant2$ , $2-x$ si $x\in[0,2]$ y $x+2$ si $x\in[-2,0]$ .

Resumiendo, $f\ast f(x)=0$ si $|x|\geqslant2$ y $f\ast f(x)=2-|x|$ si $|x|\leqslant2$ .