función holomorfa y ceros simples

Question

¿Cómo puedo demostrarlo?

Si $f$ es una función holomorfa en un dominio $U$ y $f'(z)\neq0$ para todos $z\in U$ entonces cada cero de $f$ son sencillas y positivas.

Definición : $q\in U$ es un cero positivo simple si $f(q)=0$ y $Det[Df_{q}]>0$ análogo para el cero negativo simple.

Pensaba en contradicción, suponemos $f$ tiene un cero negativo simple. Entonces hay un $q_{1}\in U$ tal que $f(q_{1})=0$ y $Det[Df_{q_{1}}]<0$ . Entonces tengo que $u_{x}v_{y}(q_{1})-v_{x}u_{y}(q_{1})<0$ y me gustaría utilizar algo parecido al teorema del valor intermedio en números complejos con otro punto tal que $u_{x}v_{y}(p)-v_{x}u_{y}(p)<0$ para que haya un punto tal que $f'(\zeta)=0$ pero no sé si podré hacerlo.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Sugerencia: Si $f=u+vi$ es holomorfa, satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann $u_x=v_y$ , $u_y=-v_x$ .