Intento completar una demostración para mi curso de análisis real (acotación total).

Question

Estoy tratando de probar que cualquier subconjunto totalmente acotado $S$ de un espacio métrico $X$ contiene un número finito de puntos tales que la unión de las bolas épsilon abiertas centradas en estos puntos incluye el conjunto $S$ .

1. Dado que $S$ es un subconjunto de un espacio métrico $X$ demuestre que $S$ está totalmente acotada si y sólo si para cada $\epsilon>0$ es posible encontrar un número finito de puntos $x_1,x_2,\ldots,x_n$ que pertenecen al conjunto $S$ tal que $$S=\subseteq\bigcup_{j=1}^nB\left(B_j,\epsilon\right)$$

Prueba:

En primer lugar, supondremos que el conjunto $S$ está totalmente acotada y demostrar que para cada $\epsilon>0$ es posible encontrar un número finito de puntos $x_1,x_2,\ldots,x_n$ que pertenecen al conjunto $S$ tal que $$S=\subseteq\bigcup_{j=1}^nB\left(B_j,\epsilon\right)$$

Supongamos que $\epsilon>0$ .

Si $S$ está vacía, entonces cualquier unión de bolas introducidas en cualquier punto de $S$ estará vacía. Dado que $0\subseteq0$ nuestra condición se cumple.

El caso en que $S$ está vacío parece incómodo, ¿debería haber incluido esto?

Si $S$ no es vacío, podemos elegir un punto $x_1\in S$ .

El conjunto $S$ se incluye en la bola $B\left(x_1,\epsilon\right)$ o $S$ no está incluido en $B\left(x_1,\epsilon\right)$ .

En el caso de que $S\subseteq B\left(x_1,\epsilon\right)$ hemos llegado a nuestra conclusión.

En el caso de que $S\nsubseteq B\left(x_1,\epsilon\right)$ podemos elegir un punto diferente $x_2\in S$ tal que $x\notin B\left(x_1,\epsilon\right)$ .

Obsérvese de nuevo que tenemos $S\subseteq\left(B\left(x_1,\epsilon\right)\cup B\left(x_2,\epsilon\right)\right)$ o $S\nsubseteq\left(B\left(x_1,\epsilon\right)\cup B\left(x_1,\epsilon\right)\right)$ .

Si $S\nsubseteq\left(B\left(x_1,\epsilon\right)\cup B\left(x_1,\epsilon\right)\right)$ podemos elegir un punto $x_3$ en $S$ tal que $x_3\nsubseteq\left(B\left(x_1,\epsilon\right)\cup B\left(x_1,\epsilon\right)\right)$ .

Quiero decir que si seguimos así acabaremos encontrando algún $n$ tal que $$S=\subseteq\bigcup_{j=1}^nB\left(B_j,\epsilon\right)$$ pero no sé cómo decirlo matemáticamente. Sé que no he utilizado el hecho de que $S$ está totalmente acotado, y siento que hay algún fallo fundamental en lo que intento hacer.

Estoy atascado con tratar de continuar un proceso sin realmente continuar el proceso ¿Está bien sólo decir algo como "continúa este proceso y eventualmente encontrarás un $n$ tal que esto sea cierto"? Siento que no lo es.

Answer 1

En primer lugar, no es necesario tratar el conjunto vacío de forma especial, basta con un argumento general. En respuesta a su siguiente pregunta, por qué ¿debe finalizar el proceso? Si se te ocurre una razón matemática para que termine (y sí, aquí tendrías que usar la acotación total), entonces puedes declararla y afirmar que el proceso termina.

Sin embargo, la dirección hacia delante que intentas mostrar puede verse de forma mucho más sencilla: ¡piensa en la definición de acotación total!

Si un espacio $X$ está totalmente acotada, entonces para cada $\epsilon > 0$ existe una cobertura finita de $X$ por bolas épsilon, es decir, para algunas $\left\{B(x_i;\epsilon)\right\}_{i = 1}^n$ , $$ X\subseteq\bigcup_{i = 1}^n B(x_i;\epsilon), $$ donde $x_i\in X$ para todos $i$ . Si miras esta cubierta, deberías ser capaz de encontrar tu conjunto finito de puntos para un fijo $\epsilon$ y complete su prueba.

El sentido inverso debería ser similar: ¡seguir las definiciones!

EDITAR (en respuesta a la revisión de la prueba): Tengo que pedirle su definición de totalmente limitado. En la definición que conozco, se elige un $\epsilon > 0$ y esto le da una cubierta abierta de $X$ por un número finito de $\epsilon$ -balls - you don't choose $n$ y encontrar una cubierta de $\epsilon$ -bolas que tiene $n$ pelotas.

En segundo lugar, tengo un problema con su afirmación de que la elección de un elemento arbitrario $x_i\in S\cap B(y_i;\epsilon)$ y cogiendo las pelotas $B(x_i;\epsilon)$ cubrirá $S$ : let $S = [0,1]$ (con la métrica euclidiana). Esto está totalmente acotado, por lo que podemos tomar $\epsilon = .5$ y observe que las bolas $B(1/4;\epsilon)$ y $B(3/4;\epsilon)$ portada $S$ . Sin embargo, tome su $x_1 = 0$ y $x_2 = 1$ : entonces $S\not\subseteq B(x_1;\epsilon)\cup B(x_2;\epsilon)$ .

Por último, me parece que cuando intentas demostrar el sentido inverso, acabas asumiendo lo que quieres demostrar: a saber, que $S$ está totalmente acotada ("utilizando el hecho de que $S$ está totalmente acotada...").

Entonces: ¿qué es ¿su definición de totalmente acotado, en primer lugar? En segundo lugar, creo que estás buscando demasiado tu conjunto finito de $x_i$ 's. Demos un paso atrás, y miremos la definición de totalmente acotado: debería haber una opción natural para el $x_i$ 's. Además, debería bastar con demostrar que esto se cumple cuando se tiene un espacio métrico que está totalmente acotado (¿ves por qué?). Creo que la noción de subconjunto totalmente acotado en lugar de la de espacio totalmente acotado también puede estar dificultando tu comprensión y tu entendimiento de cómo podrías resolver el problema (y si no es así, sigue siendo una buena idea pensar por qué es suficiente). En cualquier caso, ¡sigue con ello! Es agradable ver que alguien intenta resolver su propio problema aquí, en lugar de esperar una solución.

Editado de nuevo: Viendo tu definición, no hay tan buena opción para el $x_i$ como había pensado. Sin embargo, tengo algunos otros consejos para conseguir una solución. En primer lugar, usted sabe que usted puede encontrar una cubierta finita de $\epsilon$ -bolas para cualquier $\epsilon > 0$ . Entonces, ¿por qué no empezar con una cubierta por bolas más pequeña de lo que necesitas? Es decir, tomar una cubierta por $\epsilon/2$ -bolas, luego aumenta el radio y trabaja con él. Tendrás más bolas con las que podrás cubrir $S$ . Otra idea: en un espacio métrico, tenemos una noción de distancia entre un punto y un conjunto. Quizá puedas utilizar esta noción para que tus estimaciones sean más precisas.