Sea $Y1,Y2,...,Yn$ sean variables aleatorias independientes y uniformemente distribuidas en el intervalo $[0, ]$ , $Y(k)$ la estadística de orden k, siendo k un número entero comprendido entre $1$ y $n$ . Visite $E(Y(k)- Y(k-1))$ la diferencia media entre dos estadísticos de orden sucesivo. Interprete este resultado. Dado que obtuve $E(Y(k))=K/(n+1)$ ¿Cómo puedo encontrar $E(Y(k-1))$ ? ¡Gracias por la ayuda!
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wryrych
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Se nos da que,
$$f(y) = \frac{1}{\theta}$$ .
En primer lugar, encontremos la densidad del $n$ por lo que obtenemos
$$f_{n:n}(y) = n \theta ^{-n} y^{n-1}.$$
Ahora, $$E(Y_{n:n}) = \frac{\theta n}{n+1}.$$
La cantidad $E(Y_{n-1:n})$ es la expectativa del estadístico de orden "2º mayor".
Para calcular esa cantidad, necesitamos la distribución de la estadística del 2º mayor orden, $f_{n-1,n}(y)$ que resulta ser:
$$f_{n-1:n}(y) = \frac{(n-1) n (\theta -y) \left(\frac{y}{\theta }\right)^n}{y^2}.$$
Entonces, mediante cálculos rutinarios, es fácil demostrar que
$$E(Y_{n-1:n}) = \frac{\theta (n-1)}{n+1}.$$
Por la linealidad de la expectativa, suponemos que $E(Y_{n:n} - Y_{n-1:n})$ = $E(Y_{n:n}) - E(Y_{n-1:n})$ . Dado esto, obtenemos
$$E(Y_{n:n}) - E(Y_{n-1:n}) = \frac{\theta n}{n+1} - \frac{\theta (n-1)}{n+1}$$
que resulta ser:
$$\frac{\theta }{n+1}.$$
La "interpretación" es que para las estadísticas de orden uniforme, todas las estadísticas de orden esperadas están igualmente espaciadas en el intervalo de $[0,1]$ lo que tiene sentido, ya que la distribución está "uniformemente distribuida" en ese intervalo. Para otras distribuciones, no podemos esperar una interpretación física tan fácil.
