Sea $X,Y,Z$ sean espacios de Banach tales que $X,Y\hookrightarrow Z$ . Sabemos que si $X\Subset Y$ (El símbolo " $\hookrightarrow $ "significa incrustación continua), entonces $(Z,X)_{\theta,p}\hookrightarrow (Z,Y)_{\theta,p}$ para todos $\theta\in (0,1)$ y $p\in[1,\infty]$ . ¿Y los resultados inversos? Digamos que, si $(Z,X)_{\theta,p}\hookrightarrow (Z,Y)_{\theta,p}$ para algunos $\theta\in (0,1)$ y $p\in (1,\infty)$ entonces, ¿qué podemos decir de las relaciones de inclusión sobre $X$ y $Y$ ? ¿Se puede demostrar que $X\hookrightarrow Y$ . Si no es así, ¿es posible hacerla válida con algunos requisitos adicionales? Se agradecen las referencias.
Respuesta
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Scott Wilton
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En general, no se puede dar una relación definida entre $X$ y $Y$ al menos mientras no se exija una inclusión estricta entre los espacios de interpolación. $(Z,X)_{\theta,p}$ y $(Z,Y)_{\theta,p}$ (entonces podría pero de momento no sé cómo probarlo). Esto se debe esencialmente a que hay escalas bastante finas de espacios de funciones en los que la interpolación actúa demasiado "bruscamente" en el sentido siguiente:
Elija los espacios de Besov $Z = B^0_{p,r}$ , $X = B^s_{p,q_0}$ y $Y = B^s_{p,q_1}$ definidos en $\mathbb{R}^n$ para algunos $s > 0$ y $p,q_0,q_1,r \in (1,\infty)$ . Véase el libro de Triebels "Interpolation theory, function spaces, differential operators", Cap. 2.3 para las definiciones si es necesario; todas mis referencias serán de allí. Entonces tenemos $X,Y \hookrightarrow Z$ (incrustación continua, cap. 2.3.2 (3)) e incluso $$(Z,X)_{\theta,q} = (B^0_{p,r},B^s_{p,q_0})_{\theta,q} = B^{\theta s}_{p,q} = (B^0_{p,r},B^s_{p,q_1})_{\theta,q} = (Z,Y)_{\theta,q}$$ para $\theta \in (0,1)$ y $q \in (1,\infty)$ véase el capítulo 2.4.1 (3); obsérvese cómo el parámetro de interpolación $q$ "anula" los parámetros de la escala $r,q_0,q_1$ . Sin embargo, de nuevo por el cap. 2.3.2 (3), $$X \hookrightarrow Y \quad \text{if}~q_0 \leq q_1$$ y $$Y \hookrightarrow X \quad \text{if}~q_1 \leq q_0.$$ Existe un fenómeno bastante análogo para los espacios de Triebel-Lizorkin (cap. 2.4.2 (2), y también para los espacios de Lorentz (cap. 1.18 (16)) mencionados por Willie Wong en los comentarios.
PD: Creo que el símbolo " $\Subset$ "suele significar compacto inclusión.. :)
