¿Los espacios intermedios implican la información sobre el par de espacios de interpolación?

Question

Sean $X,Y,Z$ espacios de Banach tales que $X,Y\hookrightarrow Z$. Sabemos que si $X\Subset Y$ (El símbolo "$\hookrightarrow $" significa inclusión continua), entonces $(Z,X)_{\theta,p}\hookrightarrow (Z,Y)_{\theta,p}$ para todo $\theta\in (0,1)$ y $p\in[1,\infty]$. ¿Qué hay de los resultados reversos? Digamos, si $(Z,X)_{\theta,p}\hookrightarrow (Z,Y)_{\theta,p}$ para algún $\theta\in (0,1)$ y $p\in (1,\infty)$, entonces ¿qué podemos decir sobre las relaciones de inclusión entre $X$ e $Y$? ¿Se puede demostrar que $X\hookrightarrow Y$? Si no, ¿es posible hacerlo válido bajo algunos requisitos adicionales? Se agradecen las referencias.

Answer 1

En general, no puedes dar una relación definida entre $X$ e $Y$, al menos mientras no requieras una inclusión estricta entre tus espacios de interpolación $(Z,X)_{\theta,p}$ y $(Z,Y)_{\theta,p}$ (entonces podría funcionar, pero no estoy seguro de cómo demostrarlo en este momento). Esto se debe esencialmente a que hay escalas bastante finas de espacios de funciones donde la interpolación actúa de manera demasiado "áspera" en el siguiente sentido:

Elige los espacios Besov $Z = B^0_{p,r}$, $X = B^s_{p,q_0}$ e $Y = B^s_{p,q_1}$, todos definidos en $\mathbb{R}^n$, para algún $s > 0$ y $p,q_0,q_1,r \in (1,\infty)$. Consulta el libro de Triebel "Interpolation theory, function spaces, differential operators", Cap. 2.3 para las definiciones si es necesario; todas mis referencias serán de ahí. Entonces tienes $X,Y \hookrightarrow Z$ (incrustación continua, Cap. 2.3.2 (3)) e incluso $$(Z,X)_{\theta,q} = (B^0_{p,r},B^s_{p,q_0})_{\theta,q} = B^{\theta s}_{p,q} = (B^0_{p,r},B^s_{p,q_1})_{\theta,q} = (Z,Y)_{\theta,q}$$ para $\theta \in (0,1)$ y $q \in (1,\infty)$, ver Cap. 2.4.1 (3); nota cómo el parámetro de interpolación $q$ "anula" los parámetros de escala $r,q_0,q_1$. Sin embargo, nuevamente según el Cap. 2.3.2 (3), $$X \hookrightarrow Y \quad \text{si}~q_0 \leq q_1$$ y $$Y \hookrightarrow X \quad \text{si}~q_1 \leq q_0.$$ Existe un fenómeno bastante análogo para los espacios de Triebel-Lizorkin (Cap. 2.4.2 (2), y también para los espacios de Lorentz (Cap. 1.18 (16)) mencionados por Willie Wong en los comentarios.

PD: Creo que el símbolo "$\Subset$" usualmente representa una inclusión compacta.