$(A-B) \cup (B-A) = (A\cup B) - (A \cap B)$

Question

Así es como se ve en el título. He aquí por qué estoy atascado:

Sea $x \in [(A-B) \cup (B-A)] \Longrightarrow x \in (A-B)$ o $x \in (B-A) $ $\Longrightarrow$ ( $x \in A$ y $x \not \in B$ ) o ( $x \not \in A$ y $x \in B$ ).

Aquí es donde estoy atascado. ¿Puedo producir estos paréntesis? Como:

(x en A o x no en A) y ( x en A o x en B) y (x no en B o x no en A) y (x no en B o x en B).

Y por favor, ¿cómo puedo aprender a escribir con símbolos? No puedo encontrar el botón. Lo siento mucho.

Answer 1

En lugar de "multiplicar los paréntesis" puedes ver cada caso por separado:

• Si $x\in A\text{ and }x\not\in B$ entonces $x\in A\cup B$ (porque $A$ es un subconjunto de $A\cup B$ y $x\in A$ ) y $x\not\in A\cap B$ (porque $A\cap B$ es un subconjunto de $B$ y $x\not\in B$ ), por lo tanto $x\in (A\cup B)-(A\cap B)$ .

• Si $x\not\in A\text{ and }x\in B$ entonces $x\in A\cup B$ (porque $B$ es un subconjunto de $A\cup B$ y $x\in B$ ) y $x\not\in A\cap B$ (porque $A\cap B$ es un subconjunto de $A$ y $x\not\in A$ ), por lo tanto $x\in (A\cup B)-(A\cap B)$ .

En ambos casos se concluye que $x\in (A\cup B)-(A\cap B)$ lo que demuestra que cada elemento de $(A-B)\cup (B-A)$ es un elemento de $(A\cup B)-(A\cap B)$ .

Lo único que falta para demostrar que estos dos conjuntos son iguales es la inversa, es decir, que cada elemento de $(A\cup B)-(A\cap B)$ es un elemento de $(A-B)\cup (B-A)$ .