¿Qué relación hay entre los sistemas integrables y las degeneraciones tóricas?

Question

Dado un sistema integrable en una variedad de Kahler X, ¿hay alguna forma de asociar una degeneración tórica de X cuyas fibras de Milnor estén relacionadas con las fibras del sistema integrable?

Un sistema integrable es, al menos, un mapa de X a R^n cuyas funciones de coordenadas conmutan de Poisson. El mapa de momentos de un toro de acción hamiltoniano tendrá esta propiedad, pero hay otros ejemplos. Por ejemplo, la variedad bandera GL(n,C)/B tiene un famoso sistema integrable y una famosa degeneración tórica, ambos relacionados con el mismo politopo: un politopo de Gelfand-Tsetlin. (Famoso, pero no conozco las referencias originales de estas construcciones).

Dada una degeneración tórica Y --> C, puedes intentar construir un sistema integrable en una fibra general Y1 fluyendo a lo largo de un campo vectorial gradiente de Y1 a Y0 (la fibra especial, una variedad tórica) y proyectando a R^n a través del mapa de momento de la acción tórica sobre Y0. He oído que esto no funciona de narices, pero que funciona lo suficientemente bien como para que en puntos adecuados puedas identificar las fibras de, por ejemplo, el sistema integrable de Gelfand-Tsetlin con las fibras de Milnor de la degeneración tórica de Gelfand-Tsetlin. Posiblemente empezar con un sistema integrable e intentar construir una degeneración tórica sea más fácil y más algebraico.

P.D. Algunas referencias después de todo: Guillemin y Sternberg, "The Gelfand-Cetlin system and quantization of the complex flag manifolds", y Gonciulea y Lakshmibai, "Degenerations of Flag and Schubert varieties to toric varieties".

Answer 1

Estuve a punto de escribir mi tesis doctoral sobre este tema. Esto es todo lo que pude averiguar, aunque no es una respuesta directa a tu pregunta.

1) Digamos que su espacio total es K\"ahler, y sus fibras son compactas. Entonces se puede definir una conexión Levi-Civita en cualquier conjunto abierto formado por fibras lisas. Resulta que esta conexión genera simplectomorfismos entre las fibras.

2) En las degeneraciones tóricas, el toro actúa sobre el espacio total de la familia, desplazándolos en su mayor parte, pero preservando la fibra cero (por eso es tórica).

1+2?) Ahora imagina que usas (1) para dar un mapa de tu fibra general $F_1$ a su fibra especial $F_0$ . Mapa más, a ${\mathfrak t}^*$ utilizando el mapa de momentos de la variedad tórica.

Ahora tienes un sistema integrable en $F_1$ robado de $F_0$ ¡!

Hay un problema: como $F_0$ no es suave, no podemos usar (1) para hacer el mapa. La esperanza es tomar límites a lo largo del campo vectorial horizontal para definir un continuo función $F_1 \to F_0$ .

3) Resulta que esto es lo mismo que seguir el flujo de gradiente para el cuadrado de la norma del mapa de momentos. Y los límites de los flujos de gradiente analíticos reales en variedades lisas están bien entendidos, por Lojasiewicz. Así que si tu espacio total es liso, puedes usar esto para demostrar que el mapa $F_1 \to F_0$ está bien definida, es continua y suave lejos de las singularidades en $F_0$ .

Nunca llegué a investigar cómo cambian las cosas si el espacio total es singular (como en la degeneración Gel'fand-Cetlin-Sturmfels-Gonciulea-Lakshmibai que motivó al autor de la pregunta, y a mí también). Por supuesto que se puede elegir una resolución de singularidades, y supongo que se puede pedir que la métrica en las fibras excepcionales sea muy muy pequeña, y usar eso para generalizar los resultados de Lojasiewicz. Pero nunca he trabajado en esto seriamente.

Exemple :

Que la familia sea $det : C^{2\times 2} \to C$ . Entonces el $0$ es el cono sobre $P^1 \times P^1$ es una variedad tórica, pero la fibra sobre $1$ es $SL(2)$ . Eso tiene un $T^2$ por multiplicación a izquierda y derecha por su toroide máximo, pero no tiene la acción de reescalado que tiene el $0$ disfruta de la fibra. En realidad se puede resolver la EDO definida por el flujo Levi-Civita/gradiente y escribir el mapa $SL(2) \to det^{-1}(0)$ . Se derrumba $SU(2)$ al punto singular $0$ .

¿Qué es un sistema integrable? Consulte $SL(2)$ como $T^* S^3$ y la variable de acción como $(p,\vec v) \mapsto |\vec v|$ . Esto genera un flujo de gradiente de velocidad unitaria en $T^* S^3$ que se rompe en los vectores cero (el $SU(2) = S^3$ ) porque no saben qué dirección tomar.

Answer 2

Estimado David, tal vez te resulte útil el artículo "Integrable systems, toric degenerations and Okounkov bodies", arXiv:1205.5249.