Dado un sistema integrable en una variedad de Kahler X, ¿hay alguna forma de asociar una degeneración tórica de X cuyas fibras de Milnor estén relacionadas con las fibras del sistema integrable?
Un sistema integrable es, al menos, un mapa de X a R^n cuyas funciones de coordenadas conmutan de Poisson. El mapa de momentos de un toro de acción hamiltoniano tendrá esta propiedad, pero hay otros ejemplos. Por ejemplo, la variedad bandera GL(n,C)/B tiene un famoso sistema integrable y una famosa degeneración tórica, ambos relacionados con el mismo politopo: un politopo de Gelfand-Tsetlin. (Famoso, pero no conozco las referencias originales de estas construcciones).
Dada una degeneración tórica Y --> C, puedes intentar construir un sistema integrable en una fibra general Y1 fluyendo a lo largo de un campo vectorial gradiente de Y1 a Y0 (la fibra especial, una variedad tórica) y proyectando a R^n a través del mapa de momento de la acción tórica sobre Y0. He oído que esto no funciona de narices, pero que funciona lo suficientemente bien como para que en puntos adecuados puedas identificar las fibras de, por ejemplo, el sistema integrable de Gelfand-Tsetlin con las fibras de Milnor de la degeneración tórica de Gelfand-Tsetlin. Posiblemente empezar con un sistema integrable e intentar construir una degeneración tórica sea más fácil y más algebraico.
P.D. Algunas referencias después de todo: Guillemin y Sternberg, "The Gelfand-Cetlin system and quantization of the complex flag manifolds", y Gonciulea y Lakshmibai, "Degenerations of Flag and Schubert varieties to toric varieties".