Dos topologías localmente convexas en $B(X)$ .

Question

Sea $X$ sea un espacio de Banach no reflexivo. Se supone que compara dos topologías localmente convexas en $B(X)$ :

Sea $w$ sea la topología en $B(X)$ aplicado por todos los seminormales dados por $$B(X)\to [0,\infty) : T\to |\langle T^*x^*,x\rangle|$$ donde $x\in X$ y $x^*\in X^*$ .

También denotamos $w^*$ por la topología implementada por todas las seminormas dadas por $$B(X)\to [0,\infty) : T\to |\langle T^*x^*,x^{**}\rangle|$$ donde $x^{**}\in X^{**}$ y $x^*\in X^*$ .

Pregunta) Parece que incluso cuando $X$ es separable estas dos topologías $w$ y $w^*$ no son lo mismo, ¿no?

Answer 1

Fijar $x \in X$ y que $(f_\alpha)$ sea una red en $X^*$ . Para cada $\alpha$ deje $T_\alpha$ sea el operador de rango uno $y \mapsto f_\alpha(y) x$ . Entonces se quieren comparar los seminormales $$ |\langle T_\alpha^*(x^*), x \rangle| = |\langle x^*, x\rangle| |\langle f_\alpha, x\rangle| $$ contra $$ |\langle T_\alpha^*(x^*), x^{**} \rangle| = |\langle x^*, x\rangle| |\langle x^{**}, f_\alpha \rangle|. $$ En $X$ es no reflexiva, podemos encontrar una red acotada $(f_\alpha)$ que es, digamos, débil $^*$ -nulo, pero para algunos $x_0^{**} \in X^{**}$ tenemos $\langle x^{**}_0, f_\alpha\rangle=1$ para todos $\alpha$ . Así que las topologías difieren.