$L^\infty$ estimación del error para $L^2$ aproximantes

Question

Tengo una función $u\in H^m(\Omega)$ por lo que encuentro $u_h \in \mathbb{P}^p(\Omega)$ lo mejor $p$ aproximante polinómico en un $L^2$ sentido

$$ u_h = \arg \inf_{v\in\mathbb{P}^p(\Omega)} \| u - u_h \|_{L^2(\Omega)}$$

¿Existe alguna forma de estimar $\| u - u_h \|_{L^\infty(\Omega)}$ en función del diámetro de $\Omega$ ?

Estoy pensando en algo parecido a $$ \exists s \in \mathbb{R} :\ \|u - u_h \|_{L^\infty} \lesssim h^{s} \| u - u_h \|_{L^2(\Omega)}$$

donde $h$ es el diámetro de $\Omega$ .

Answer 1

Creo que existe tal resultado dadas las hipótesis correctas (probablemente quieras un dominio poligonal con forma de estrella y condiciones que relacionen la dimensión del dominio y el grado del polinomio). Echa un vistazo a "The Mathematical Theory of Finite Element Methods" de Brenner y Scott ( enlace ). Las respuestas que deseas probablemente se encuentran en el capítulo 4 (probablemente la sección titulada Estimaciones inversas, pero otras cosas también podrían ser útiles). No puedo encontrar el resultado exacto ahora mismo, pero échale un vistazo; si no encuentras nada útil, puedo echarle un vistazo más tarde.