Relación entre los subgrupos de la congruencia. $\Gamma(M)\Gamma(N) = \Gamma(\gcd(M,N))$

Question

Tengo la esperanza de que hay una agradable manera de resolver esto.

Demostrar que $\Gamma(M)\Gamma(N) = \Gamma(\gcd(M,N))$.

Mostrando que $\Gamma(M)\Gamma(N) \subset \Gamma(\gcd(M,N))$ es bastante recta hacia adelante, pero la otra dirección parece implicar resolver un sistema de dos sistemas de ecuaciones, lo cual podría ser bastante desordenado. Me preguntaba si alguno sabe de una mejor manera de atacar este problema?

Gracias!

Para completarla, me puede mostrar la dirección que me dijo fue sencillo, aunque esto no es necesariamente importante para mi pregunta,

Deje $\gamma_M\in\Gamma(M)$ $\gamma_N\in\Gamma(N)$ ser dada por $$ \gamma_M = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix},$$ $$ \gamma_N = \begin{pmatrix} e & f\\ g & h \end{pmatrix}.$$ Podemos calcular su producto, $$ \gamma_M\gamma_N = \begin{pmatrix} ae + bg & af + bh\\ ce + dg & cf + dh \end{pmatrix},$$ y aviso que por las restricciones de $a,b,c,d$ modulo $M$ $e,f,g,h$ modulo $N$ sabemos, dejando $G = \gcd(M,N)$, $$ ae + bg \equiv 1(\bmod\ G)$$ $$ af + bh \equiv 0(\bmod\ G)$$ $$ ce + dg \equiv 0(\bmod\ G)$$ $$ cf + dh \equiv 1(\bmod\ G)$$ y por lo $\gamma_M\gamma_N\in\Gamma(G)$. Esta muestra $\Gamma(M)\Gamma(N)\subset \Gamma(G)$.

Answer 1

Como no tengo puntos para la aceptación de mi propia respuesta, supongo que voy a añadir mi solución para tener algo a aceptar :).

Tenemos $\Gamma(M)\Gamma(N) = \{\gamma_m\gamma_n:\gamma_m\in\Gamma(M)$$\gamma_n\in\Gamma(N)\}$.

Sabemos $\Gamma(\gcd(M,N))\supset\Gamma(M)$$\Gamma(\gcd(M,N))\supset\Gamma(N)$. Esto implica que cualquier elemento de a $\Gamma(M)\Gamma(N)$ puede ser visto como un producto de los elementos de $\Gamma(\gcd(M,N))$, el cual debe ser en $\Gamma(\gcd(M,N))$, por lo que tenemos \begin{align} \Gamma(\gcd(M,N))\supset\Gamma(M)\Gamma(N).\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\ast) \end{align}

Ahora vamos a mostrar que, en realidad, $\Gamma(\gcd(M,N)) = \Gamma(M)\Gamma(N)$. Sabemos que el índice de $\Gamma(N)$ $\Gamma(1)$ es $$ N^3 \prod_{p|N} \left(1 - \frac{1}{p^2}\right).$$ Definir $i(N)$ a ser dada por esta fórmula para cualquier entero positivo $N$. A continuación, $i(N)$ es multiplicativa como $i(1) = 1^3 = 1$ e si $N = qr$ para algunos positivo, relativamente primer enteros $q$$r$, tenemos \begin{align*} i(qr) = i(N) &= N^3\prod_{p|N} \left(1 - \frac{1}{p^2}\right)\newline &= (qr)^3\prod_{p|qr} \left(1 - \frac{1}{p^2}\right)\newline &= q^3r^3\prod_{p|q} \left(1 - \frac{1}{p^2}\right)\prod_{p|r} \left(1 - \frac{1}{p^2}\right)\newline &= \left(q^3\prod_{p|q} \left(1 - \frac{1}{p^2}\right)\right)\left(r^3\prod_{p|r} \left(1 - \frac{1}{p^2}\right)\right) = i(q)i(r). \end{align*} Ahora el índice de $\Gamma(M)\Gamma(N)$ $\Gamma(1)$ debe ser, a partir del segundo teorema de isomorfismo, $i(M)i(N)/i((\operatorname{lcm}(M,N)))$. Pero como $i$ es multiplicativo, tenemos $$ i(M)i(N) = i(MN) = i(\gcd(M,N))i(L),$$ así, dividiendo por $i(L)$, vemos a $\Gamma(\gcd(M,N)) = \Gamma(M)\Gamma(N)$.