En $\lim_{x\to0}f(x)=L$ implican la convergencia de $\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\int_{-h}^{h}f(x)dx$ ?

Question

Sea $f:[-1,1]\to \mathbb{R}$ con $\lim_{x\to0}f(x)=L<\infty $ . ¿Implica esto la convergencia de $\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\int_{-h}^{h}f(x)dx$ ?

He pensado que podemos aplicar L'Hospital a $\lim_{h\to0}\frac{\int_{-h}^{0}f(x)dx}{h}$ y $\lim_{h\to0}\frac{\int_{0}^{h}f(x)dx}{h}$ y con el teorema fundamental tendríamos $$\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\int_{-h}^{h}f(x)dx=2L$$

¿Es correcto?

Answer 1

Puesto que usted hace referencia al "teorema fundamental" (del Cálculo, supongo), entonces mi conjetura es que usted está asumiendo que $f$ es continua. Entonces, por la definición de derivada, $$\lim_{h\to0}\frac{\int_0^hf(x)\,\mathrm dx}h=f(0)=L$$ y $$\lim_{h\to0}\frac{\int_{-h}^0f(x)\,\mathrm dx}h=-\lim_{h\to0}\frac{\int_0^{-h}f(x)\,\mathrm dx}h=f(0)=L.$$ Por lo tanto, $$\lim_{h\to0}\frac{\int_{-h}^hf(x)\,\mathrm dx}h=2L.$$

Answer 2

Sí, tiene razón. Este es un enfoque directo sin L'Hopital y sólo suponiendo que $f$ es integrable en una vecindad de $0$ (sin necesidad de continuidad).

Desde $\lim_{x\to0}f(x)=L\in\mathbb{R}$ por definición de límite se deduce que para un determinado $\epsilon>0$ hay $h>0$ tal que para $|x|\leq h$ , $$L-\epsilon\leq f(x)\leq L+\epsilon.$$ Por lo tanto, $$2L-2\epsilon=\frac{1}{h}\int_{-h}^{h}(L-\epsilon)dx\leq \frac{1}{h}\int_{-h}^{h}f(x)dx\leq \frac{1}{h}\int_{-h}^{h}(L+\epsilon)dx=2L+2\epsilon$$ lo que implica que $$\left|\frac{1}{h}\int_{-h}^{h}f(x)dx-2L\right|\leq 2\epsilon.$$