Ejemplos de 2.ª EDO acopladas independientes del tiempo

Question

Busco un sistema de dos a cuatro EDO acopladas que puedan unirse en una ecuación de cuarto orden. Es decir, un sistema de dos EDOs de 2º orden acopladas (esto es preferible), pero estaría bien si recomendara un sistema de cuatro EDOs de 1º orden. La independencia temporal es imprescindible.

Originalmente estaba pensando en osciladores armónicos acoplados, pero de nuevo, pero quiero mantenerme alejado de las situaciones de evolución temporal.

También sería mejor que el sistema tuviera alguna solución analítica de forma cerrada, o al menos alguna aproximación analítica. Utilizaré cualquier sistema que me sugieran para probar mi código numérico, así que, por supuesto, es mejor si tengo algo analítico con lo que trabajar.

Personalmente he estado pensando en algún tipo de ecuaciones acopladas tipo Poisson, algo así como

$\nabla F(r) = G(r)$ y $\nabla G(r) = F(r)$ donde $\nabla$ es el laplaciano.

Answer 1

Este es el ejemplo más trivial de sistema de 4º orden que se puede poner en una sola EDO de 4º orden. Considera un sistema de 4º orden como este:

$\begin{align} & x' = x_1 \\ & x_1' =x_2 \\ & x_2' = x_3 \\ & x_3' = -ax_3 -bx_2 -cx_1 - dx, \end{align}$

que puede obtenerse a partir de la ecuación de 4º orden $x^{(4)} + ax^{(3)}+ bx^{(2)}+ cx^{(1)} + dx = 0$ . Dado que se trata de una EDO lineal homogénea simple, la solución existe en forma cerrada y puede calcularse exactamente.