Ejercicio sobre la expectativa condicional de variables aleatorias juntamente gaussianas

Question

Estoy intentando resolver el siguiente ejercicio de los apuntes de mi profesor sobre la expectativa condicional:

Sea $x: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$ , $x \in G(0, Q_x)$ , $Q_x = Q_x^T>0$ , $y: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^k$ , $y \in G(0, Q_y)$ . Supongamos que $x$ , $y$ son conjuntamente variables aleatorias gaussianas y que $$\begin{equation*} E[\exp(iu^Ty)|F^x] = \exp\left(iu^TCx - \frac{1}{2} u^T \tilde{Q}u\right), \end{equation*}$$ para algunos $C \in \mathbb{R}^{k \times n}$ , $\tilde{Q} = \tilde{Q}^T \geq 0$ . Demostrar que existe una variable aleatoria $w: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^k$ tal que $x$ , $w$ son independientes, $w \in G(0, Q_w)$ y $y = Cx + w$

Mi problema es que no encuentro la forma de demostrar la existencia (la inversa es fácil de demostrar). Estaba pensando en utilizar la propiedad $E[E[\exp(iu^Ty)|F^x]] = E[\exp(iu^Ty)]$ (porque la función característica daría una expresión para $y$ ) pero siguiendo este camino se vuelve excesivamente complejo.

Answer 1

Defina $w=y-Cx$ entonces $$E[\mathrm e^{\mathrm iu^Tw}|\mathcal F^x] =E[\mathrm e^{\mathrm iu^Ty}|\mathcal F^x]\,\mathrm e^{-\mathrm iu^TCx} = \mathrm e^{-u^T \tilde{Q}u/2}$$ es independiente de $x$ . Así $w$ es independiente de $x$ y normal centrada con covarianza $\tilde{Q}$ .