Intento estudiar la convergencia de la serie $$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(2n)!}{((n+2)!)^{x+1}}.$$ Observo que, habiendo $$f_n(x) =\frac{(2n)!}{((n+2)!)^{x+1}},$$ es $$\lim_{n\to +\infty}f_n(x)=0 \quad\mbox{ if } x>0$$ por lo que la serie podría converger si y sólo si $x>0$ . Empiezo estudiando la convergencia absoluta. Observo que, tomando $x>0$ se deduce lo siguiente $$\sum_{n=1}^{+\infty} \left\vert\frac{(2n)!}{((n+2)!)^{x+1}}\right\vert =\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(2n)!}{((n+2)!)^{x+1}}$$ y aplicando el criterio de razón tengo $$\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}\sim \frac{1}{n^x},$$ de modo que tenga convergencia absoluta si $x>1$ . Procedo a estudiar la convergencia total. Es $$\|f_n\|_{\infty}=\sup_{x>1}|f_n(x)|=\sup_{x>1}f_n(x).$$
Mis preguntas son: ¿Es correcto mi procedimiento hasta ahora? En caso afirmativo, ¿cómo estudiar la convergencia total?
Gracias de antemano.
