Según tengo entendido, el Ecuaciones de Madelung $$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \rho \mathbf{u} = 0 \\ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} = -\frac{1}{m} \nabla (Q + V) $$ con $$Q = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\nabla^2 \sqrt{\rho}}{\sqrt{\rho}}$$ puede obtenerse a partir de la ecuación de Schrödinger mediante $$\psi = \sqrt{\rho} e^{i \frac{S}{\hbar}}, \qquad \mathbf{u} = \frac{\nabla S}{m}$$ y son una formulación completamente equivalente. A menudo, el "potencial cuántico" $Q$ se reescribe utilizando un "tensor de presión cuántica" $$ \mathbf{p}_{\text{Q}} = -\left(\frac{\hbar}{2m}\right)^2 \rho \nabla \otimes \nabla \ln(\rho) $$ con $$\nabla Q = -\frac{m}{\rho} \nabla \cdot \mathbf{p}_{\text{Q}}.$$
Ahora bien, he visto que este tensor se describe a veces como "no local" - por ejemplo. arXiv:1503.03869 , arXiv:1705.05845 . En estos ejemplos en concreto, la única explicación para el término "no local" es que el tensor cuántico de presión depende del gradiente de la densidad. Pero yo diría que el gradiente es una cantidad local, ya que sólo depende de un entorno infinitesimal de un único punto, y $\rho$ es simplemente el valor absoluto al cuadrado de la función de onda de Schrödinger, que evoluciona localmente. En cualquier caso, seguramente el gradiente $\nabla \rho$ no es ni más ni menos local que, por ejemplo, $\nabla V$ que también aparece en las ecuaciones?
Sospecho que puede haber cierta confusión derivada de la similitud de las ecuaciones de Madelung con Mecánica bohmiana cuyas ecuaciones son explícitamente no locales. De hecho, la única otra referencia a una presión cuántica no local que he encontrado es la página de Wikipedia sobre la Potencial cuántico de Bohm :
Relación con el tensor de presión de Madelung
En las ecuaciones de Madelung presentadas por Erwin Madelung en 1927, el tensor de presión cuántica no local tiene la misma forma matemática que el que el potencial cuántico. La teoría subyacente es diferente en el sentido de que el Bohm describe la trayectoria de las partículas, mientras que las ecuaciones de la hidrodinámica cuántica de hidrodinámica cuántica de Madelung son las ecuaciones de Euler de un fluido que describen sus características estadísticas promediadas.
Sin embargo, no estoy seguro de si esto trata de decir que el tensor de presión cuántica de Madelung es, de hecho, no local (si es así, de nuevo: ¿por qué?) o simplemente que hay un equivalente (local) en las ecuaciones de Madelung al potencial cuántico no local de Bohm.
