Ejemplo de objeto que no es un subespacio

Question

Consideremos el espacio vectorial real de todas las funciones de $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ . Supongamos que tenemos el subconjunto definido por: $$f(0)=1+f(1)$$

Ahora quiero demostrar que esto no es un subespacio. Mi primera observación sería que $$(f+ g)(0)=1+(f+ g)(1)$$ Sin embargo, cuando sumamos esas dos funciones por separado obtenemos: $$f(0) +g(0)=1+f(1) +1 +g(1) =2 + (f + g) (1)$$ ¿Es válido este razonamiento? Simplemente significa que no podemos añadir elementos y permanecer en el mismo conjunto.

También observo que la suma definida es conmutativa, asociativa, pero tampoco habría función identidad que satisfaga esta propiedad, ya que la función cero tampoco está ahí toma $f(x)=0$ entonces $ f(0)=0 \not = 1+0$ . ¿Hay otras propiedades que fallan, que me estoy perdiendo?

Answer 1

Has demostrado más de lo que necesitabas demostrar. Sí, si sumas dos elementos cualesquiera del conjunto, la suma no pertenece a él. Entonces basta con un ejemplo concreto. Por ejemplo, tomemos $f(x)=g(x)=-x+1$ . Entonces $f$ y $g$ pertenecen al conjunto, pero no su suma.

O simplemente puede observar que la función nula (que es la función $0$ de todo el espacio) no pertenece al conjunto.