La fórmula del homomorfismo inducido de los mapas en cadena

Question

Se sabe que un mapa en cadena $f_\bullet$ entre complejos de cadenas $(A_\bullet, d_{A,\bullet})$ y $(B_\bullet, d_{B,\bullet})$ induce un homomorfismo $$(f_\bullet)_*: H_\bullet(A_\bullet)\to H_\bullet(B_\bullet).$$

( https://en.wikipedia.org/wiki/Chain_complex#Chain_maps )

Las fuentes (Hatcher / wikipedia) que he leído no mencionan explícitamente cómo se induce el homomorfismo, así que me gustaría confirmar si mi idea es correcta?

Para $\alpha+\text{Im}\,\partial_{A,n+1}\in H_n(A_\bullet)$ ,

$(f_n)_*(\alpha+\text{Im}\,\partial_{A,n+1})=f_n(\alpha)+\text{Im}\,\partial_{B,n+1}$ ?

Y esto funciona ya que $f_n$ ¿mapea ciclos con ciclos y fronteras con fronteras?

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Tienes toda la razón. Para elaborar, el hecho de que $f_n$ envía ciclos a ciclos significa que tenemos un mapa (abusando ligeramente de la notación) $$f_n:\ker(d_n^A)\to\ker(d_n^B)$$ y el hecho de que $f_n$ envía límites a los límites significa que $f_n(\operatorname{Im}(d_{n+1}^A))\subseteq \operatorname{Im}(d_{n+1}^B)$ . Por lo tanto, el mapa $$\pi_n^B\circ f_n:\ker(d_n^A)\to H_n(B_{\bullet})$$ (donde $\pi_n^B:\ker(d_n^B)\to H_n(B_{\bullet})$ es la proyección) envía cada elemento de $\operatorname{Im}(d_{n+1}^A)\subseteq \ker(d_n^A)$ a la identidad en $H_n(B_{\bullet})$ . Por lo tanto, por la propiedad universal de los grupos cociente, $\pi_n^B\circ f_n$ factores de forma única a través de $H_n(A_{\bullet})$ : $$\pi_n^B\circ f_n:\quad \ker(d_n^A)\xrightarrow{\ \pi_n^A \ }H_n(A_{\bullet})\xrightarrow{\ f_* \ }H_n(B_{\bullet}).$$ Desde $\pi_n^B\circ f_n = f_*\circ\pi_n^A$ vemos que $$f_*(\alpha+\operatorname{Im}(d_{n+1}^A)) = f_n(\alpha)+\operatorname{Im}(d_{n+1}^B),$$ tal y como afirmaste.