F es un valor real $C^1$ en [0, $\infty$ ]. Supongamos que $\int_1^{\infty}|f'(x)|dx$ converge. Demuestre que la convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$ $\iff $ convergencia de $\int_1^{\infty}$ f(x)dx.
Mi pensamiento es el siguiente: $\int_1^{\infty}|f'(x)|dx$ converge $\Rightarrow$ $\sum_{n=1}^{\infty}\int_n^{n+1}|f'(x)|dx $ converge $\Rightarrow$ $\lim_{n \to \infty} \int_n^{n+1}|f'(x)|dx = 0$ $\Rightarrow$ $\lim_{x \to \infty}f'(x) = 0$
Si $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$ convergen, entonces $\lim_{n \to \infty}f(n) = 0$ $\Rightarrow$ $\forall \epsilon>0$ , $\exists n_0 >0$ tal que n> $n_0$ $\Rightarrow$ $|f(n)|<\epsilon$ .
Entonces no sé qué continuar.
